Esercizio endomorfismo
E' assegnato l'endomorfismo
[tex]f: R^3->R^3[/tex] mediante la legge: [tex]f(x,y,z)=(x+z, x+hy+2z, y+hz)[/tex]
Studiare f al variare di h determinando in ciascun caso Imf e Kerf.
Nel caso [tex]h=0[/tex] dette [tex]C = {(1,0,1);(0,-1,0);(1,0,0)}[/tex] e [tex]D= {(1,0,0);(0,-1,0);(1,0,1)}[/tex] due basi di [tex]R^3[/tex] trovare la matrice associcata alla f rispetto alle basi C e D.
Trovo la matrice associata
[tex]M=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
1 & h & 2\\
0 & 1 & h
\end{pmatrix}[/tex]
Fatto ciò provo quei valori di h che alterano il rango.
Con [tex]h \neq 0[/tex] abbiamo il rango=2 e quindi [tex]dim kerf=1[/tex] e [tex]dim imf=2[/tex]
Invece con [tex]h = 0[/tex] abbiamo il rango=3 e quindi [tex]dim kerf=0[/tex] e [tex]dim imf=3[/tex]
E' giusto fare così o dovrei provare altri valori di h?
Ora nel caso [tex]h = 0[/tex] calcolo la matrice associcata alla f rispetto alle basi C e D.
La legge diventa dunque:
[tex]f(x,y,z)=(x+z, x+2z, y)[/tex]
Calcolo la f di ogni vettore di C
[tex]f(1,0,1)=(2,3,0)[/tex]
e lo moltiplico per i vettori di D
[tex](2,3,0)=a(1,0,0)+b(0,-1,0)+c(1,0,1)[/tex]
trovando il sistema [tex]\left\{\begin{matrix}
a=2\\
b=-3\\
c=0
\end{matrix}\right.[/tex]
che rappresenta la prima colonna della matrice associata. Procedo analogamente con gli altri due vettori di C e trovo che la matrice associata è uguale a:
[tex]M=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1\\
-3& 0 & -1\\
0 & -1 & 0
\end{pmatrix}[/tex]
E' corretto il procedimento?
Grazie in anticipo.
[tex]f: R^3->R^3[/tex] mediante la legge: [tex]f(x,y,z)=(x+z, x+hy+2z, y+hz)[/tex]
Studiare f al variare di h determinando in ciascun caso Imf e Kerf.
Nel caso [tex]h=0[/tex] dette [tex]C = {(1,0,1);(0,-1,0);(1,0,0)}[/tex] e [tex]D= {(1,0,0);(0,-1,0);(1,0,1)}[/tex] due basi di [tex]R^3[/tex] trovare la matrice associcata alla f rispetto alle basi C e D.
Trovo la matrice associata
[tex]M=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\\
1 & h & 2\\
0 & 1 & h
\end{pmatrix}[/tex]
Fatto ciò provo quei valori di h che alterano il rango.
Con [tex]h \neq 0[/tex] abbiamo il rango=2 e quindi [tex]dim kerf=1[/tex] e [tex]dim imf=2[/tex]
Invece con [tex]h = 0[/tex] abbiamo il rango=3 e quindi [tex]dim kerf=0[/tex] e [tex]dim imf=3[/tex]
E' giusto fare così o dovrei provare altri valori di h?
Ora nel caso [tex]h = 0[/tex] calcolo la matrice associcata alla f rispetto alle basi C e D.
La legge diventa dunque:
[tex]f(x,y,z)=(x+z, x+2z, y)[/tex]
Calcolo la f di ogni vettore di C
[tex]f(1,0,1)=(2,3,0)[/tex]
e lo moltiplico per i vettori di D
[tex](2,3,0)=a(1,0,0)+b(0,-1,0)+c(1,0,1)[/tex]
trovando il sistema [tex]\left\{\begin{matrix}
a=2\\
b=-3\\
c=0
\end{matrix}\right.[/tex]
che rappresenta la prima colonna della matrice associata. Procedo analogamente con gli altri due vettori di C e trovo che la matrice associata è uguale a:
[tex]M=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1\\
-3& 0 & -1\\
0 & -1 & 0
\end{pmatrix}[/tex]
E' corretto il procedimento?
Grazie in anticipo.
Risposte
Sì sembra tutto corretto, conti a parte che non ho controllato.
Intanto grazie della risposta.
Quindi è corretto dalla legge creare la matrice associata mettendo i valori di x,y,z per righe? Perchè spesso in altri esercizi vedo che i valori vengono messi per colonne..
E inoltre nel caso di h diverso da 0, che valore devo/posso dare ad h per trovare le basi di imf e kerf? Oppure posso proprio lasciarlo h e trovare le basi con valore h?
Quindi è corretto dalla legge creare la matrice associata mettendo i valori di x,y,z per righe? Perchè spesso in altri esercizi vedo che i valori vengono messi per colonne..
E inoltre nel caso di h diverso da 0, che valore devo/posso dare ad h per trovare le basi di imf e kerf? Oppure posso proprio lasciarlo h e trovare le basi con valore h?
Per qualsiasi dubbio applica la definizione. La tua matrice è calcolata rispetto alla base canonica, quindi $f(1,0,0)=(1,1,0)=1e_1+1e_2+0e_3$ quindi la tua prima colonna è $(1,1,0)$, come nel tuo svolgimento.
Alla fine vedrai che mettere i coefficienti $x,y,z$ sulle righe della tua matrice è (ovviamente) la stessa cosa. Diciamo un modo per abbreviare i calcoli. Fermo restando però la definizione
Beh io credo che al variare di $h$ cambino le basi di $Im$ e $ker$ pertanto non è possibile calcolare tutte esplicitando $h$. Ma alla fine che importa? $h$ è un numero reale diverso da $0$, che sia esso $-10$ o $1000$ non fa poi tanto differenza no?
Alla fine vedrai che mettere i coefficienti $x,y,z$ sulle righe della tua matrice è (ovviamente) la stessa cosa. Diciamo un modo per abbreviare i calcoli. Fermo restando però la definizione
Beh io credo che al variare di $h$ cambino le basi di $Im$ e $ker$ pertanto non è possibile calcolare tutte esplicitando $h$. Ma alla fine che importa? $h$ è un numero reale diverso da $0$, che sia esso $-10$ o $1000$ non fa poi tanto differenza no?
Ah ok grazie.
E invece se il testo è questo:
E' dato l'endomorfismo [tex]f: R^3->R^3[/tex] assegnato mediante la relazione
[tex]\left\{\begin{matrix}
f(1,0,0)=(-1,h+2,h+2)\\
f(0,1,0)=(0,h,h+2)\\
f(0,0,1)=(2,h+2,h+1)
\end{matrix}\right.[/tex]
Come viene la matrice associata? Si fa per colonne?
E invece se il testo è questo:
E' dato l'endomorfismo [tex]f: R^3->R^3[/tex] assegnato mediante la relazione
[tex]\left\{\begin{matrix}
f(1,0,0)=(-1,h+2,h+2)\\
f(0,1,0)=(0,h,h+2)\\
f(0,0,1)=(2,h+2,h+1)
\end{matrix}\right.[/tex]
Come viene la matrice associata? Si fa per colonne?
Rispetto alle basi canoniche? Beh allora basta incolonnare i coefficienti che saranno banalmente $(-1,h+2,h+2)$ (per la prima colonna) riferendosi alla base canonica!
Ah ho capito. E' praticamente quello che hai scritto nel messaggio precedente. Ecco perchè in questo caso si mette per colonne. Grazie mille
Ora ho fatto quest'altro esercizio:
E' dato l'endomorfismo [tex]f:R^3->R^3[/tex] associato rispetto alle basi canoniche alla matrice:
[tex]\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
0 & -h & -2\\
0 & 2 & h
\end{pmatrix}[/tex]
Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso Imf e Kerf. Nel caso h=0 studiare la semplicità di f e determinare eventualmente una base di autovettori.
La matrice è già data dal testo.
Trovo che il determinante è uguale a [tex]\pm 2[/tex]
Cioè per i valori di [tex]h\neq \pm 2[/tex] la matrice ha rango massimo.
Provo quindi h=-2 e trovo che il rango è uguale a 2
Trovo [tex]dimkerf=1[/tex] e [tex]dimimf=2[/tex].
[tex](-\frac{z}{2},z,z)[/tex] autovettore di kerf. Quindi [tex](-\frac{1}{2},1,1)[/tex] base di kerf.
Mentre [tex]imf=\left \{ \right.(2,0,0),(1,2,2)\left. \right \}[/tex]
Con h=-2 ho pure rango=2
Trovo [tex]dimkerf=1[/tex] e [tex]dimimf=2[/tex].
[tex](\frac{z}{2},-z,z)[/tex] autovettore di kerf. Quindi [tex](\frac{1}{2},-1,1)[/tex] base di kerf.
Mentre [tex]imf=\left \{ \right.(2,0,0),(1,-2,2)\left. \right \}[/tex]
Con [tex]h\neq \pm 2[/tex] ho invece rango=3, [tex]dimkerf=0[/tex] e [tex]dimimf=3[/tex]. Quindi kerf è uguale al vettore nullo mentre imf è uguale a R^3
Ora nel caso h=0 studio la semplicità.
Cerco il polinomio caratteristico
[tex]\begin{pmatrix}
2-k & 1 & 0\\
0 & -k & -2\\
0 & 2 & -k
\end{pmatrix}[/tex]
Trovo [tex](2-k)(k-2)(k+2)[/tex] e quindi gli autovalori sono k1=2 con molteplicità m1=2 e k2=-2 con molteplicità m2=1
Con k1=2 trovo l'autospazio uguale a [tex](x,0,0)[/tex] e quindi dimV-rango=m1 non è verificato poiche 3-2=1 mentre m1=2
Con k2=-2 trovo l'autospazio uguale a [tex](0,0,0)[/tex]
Da questo dovrei poter dire che l'endomorfismo non è semplice.
O sbaglio?
Grazie ancora in anticipo
Ora ho fatto quest'altro esercizio:
E' dato l'endomorfismo [tex]f:R^3->R^3[/tex] associato rispetto alle basi canoniche alla matrice:
[tex]\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
0 & -h & -2\\
0 & 2 & h
\end{pmatrix}[/tex]
Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso Imf e Kerf. Nel caso h=0 studiare la semplicità di f e determinare eventualmente una base di autovettori.
La matrice è già data dal testo.
Trovo che il determinante è uguale a [tex]\pm 2[/tex]
Cioè per i valori di [tex]h\neq \pm 2[/tex] la matrice ha rango massimo.
Provo quindi h=-2 e trovo che il rango è uguale a 2
Trovo [tex]dimkerf=1[/tex] e [tex]dimimf=2[/tex].
[tex](-\frac{z}{2},z,z)[/tex] autovettore di kerf. Quindi [tex](-\frac{1}{2},1,1)[/tex] base di kerf.
Mentre [tex]imf=\left \{ \right.(2,0,0),(1,2,2)\left. \right \}[/tex]
Con h=-2 ho pure rango=2
Trovo [tex]dimkerf=1[/tex] e [tex]dimimf=2[/tex].
[tex](\frac{z}{2},-z,z)[/tex] autovettore di kerf. Quindi [tex](\frac{1}{2},-1,1)[/tex] base di kerf.
Mentre [tex]imf=\left \{ \right.(2,0,0),(1,-2,2)\left. \right \}[/tex]
Con [tex]h\neq \pm 2[/tex] ho invece rango=3, [tex]dimkerf=0[/tex] e [tex]dimimf=3[/tex]. Quindi kerf è uguale al vettore nullo mentre imf è uguale a R^3
Ora nel caso h=0 studio la semplicità.
Cerco il polinomio caratteristico
[tex]\begin{pmatrix}
2-k & 1 & 0\\
0 & -k & -2\\
0 & 2 & -k
\end{pmatrix}[/tex]
Trovo [tex](2-k)(k-2)(k+2)[/tex] e quindi gli autovalori sono k1=2 con molteplicità m1=2 e k2=-2 con molteplicità m2=1
Con k1=2 trovo l'autospazio uguale a [tex](x,0,0)[/tex] e quindi dimV-rango=m1 non è verificato poiche 3-2=1 mentre m1=2
Con k2=-2 trovo l'autospazio uguale a [tex](0,0,0)[/tex]
Da questo dovrei poter dire che l'endomorfismo non è semplice.
O sbaglio?
Grazie ancora in anticipo
Il caso $k=-2$ è sbagliato sicuramente, la molteplicità geometrica deve essere strettamente maggiore di $0$, quindi $(0,0,0)$ non può essere autovettore
Con k=-2 la matrice viene
[tex]\begin{pmatrix}
4 & 1 & 0\\
0 & 2 & -2\\
0 & 2 & 2
\end{pmatrix}[/tex]
Riducendola trovo
[tex]\begin{pmatrix}
4 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}[/tex]
E da questa facendo il sistema trovo x=0,y=0,z=0. Cosa sbaglio?
[tex]\begin{pmatrix}
4 & 1 & 0\\
0 & 2 & -2\\
0 & 2 & 2
\end{pmatrix}[/tex]
Riducendola trovo
[tex]\begin{pmatrix}
4 & 1 & 0\\
0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}[/tex]
E da questa facendo il sistema trovo x=0,y=0,z=0. Cosa sbaglio?
Forse c'è un errore nel polinomio caratteristico...
Il fatto è che non può uscire il solo vettore nullo, questo mi pare ovvio, quindi c'è da qualche parte un errore!
Il fatto è che non può uscire il solo vettore nullo, questo mi pare ovvio, quindi c'è da qualche parte un errore!
Ma visto che i trovi 2 autovalori con molteplicità 1 e 2, per vedere se l'endomorfismo è semplice devo verificare che $dimV-rango=m$ (m=molteplicità)
Se questo non accade non è semplice quindi.
Nel caso $k1=2$ trovo rango=2 e quindi $3-2=1$ che è diverso da $m1=2$. Quindi in questo caso la matrice non è semplice.
Nel caso $k2=-2$ trovo rango=3 e quindi $3-3=0$ che è diverso da $m2=1$. Quindi anche in questo caso la matrice non è semplice.
E' giusto il ragionamento? E visto questo devo trovare gli autospazi ugualmente?
Ho rifatto l'esercizio e mi risultano sempre con $k=2$, $(x,0,0)$ mentre con $k=-2$ trovo $(0,0,0)$
Se questo non accade non è semplice quindi.
Nel caso $k1=2$ trovo rango=2 e quindi $3-2=1$ che è diverso da $m1=2$. Quindi in questo caso la matrice non è semplice.
Nel caso $k2=-2$ trovo rango=3 e quindi $3-3=0$ che è diverso da $m2=1$. Quindi anche in questo caso la matrice non è semplice.
E' giusto il ragionamento? E visto questo devo trovare gli autospazi ugualmente?
Ho rifatto l'esercizio e mi risultano sempre con $k=2$, $(x,0,0)$ mentre con $k=-2$ trovo $(0,0,0)$
Hai controllato il polinomio caratteristico? A me sembra che venga $(lambda-2)(lambda^2+4)=0$
Si esatto anche a me viene così.
E quindi gli autovalori quali sono? Forse sbaglio in questo passaggio...
E quindi gli autovalori quali sono? Forse sbaglio in questo passaggio...
Ammette solo $2$ come autovalore reale.
E che molteplicità ha così?
Comunque per lo studio della semplicità in modo in cui ho impostato il tutto va bene no?
Comunque per lo studio della semplicità in modo in cui ho impostato il tutto va bene no?
Ha molteplicità 1. Il resto non puoi scomporlo sul campo reale e quindi non hai diritto a parlare di autovalori, di molteplicità algebrica semplicemente perchè non esistono. Quel polinomio non è interamente scomponibile su $RR$ e quindi a maggior ragione non diagonalizzabile.
Ah ecco va bene.
Quindi se avessi trovato 3 autovalori distinti con molteplicità 1, in questo caso l'endomorfismo sarebbe stato sicuramente semplice.
Comunque in questo caso risulta semplice anche avendo un solo autovalore no?
Nel caso in cui invece trovo 2 o 3 autovalori, devo verificare che $dimV-rango=m$. Se questo è verificato l'endomorfismo è semplice. E' corretto fare così?
Quindi se avessi trovato 3 autovalori distinti con molteplicità 1, in questo caso l'endomorfismo sarebbe stato sicuramente semplice.
Comunque in questo caso risulta semplice anche avendo un solo autovalore no?
Nel caso in cui invece trovo 2 o 3 autovalori, devo verificare che $dimV-rango=m$. Se questo è verificato l'endomorfismo è semplice. E' corretto fare così?
In questo esercizio lo studio della semplicità è corretto?
[tex]\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2\\
h+2 & h & h+2\\
h+2 & h+2 & h+1
\end{pmatrix}[/tex]
Nel caso $h=-2$ studiare la semplicità.
La matrice diventa:
[tex]\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2\\
0 & -2 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}[/tex]
quindi trovo
[tex]\begin{pmatrix}
-1-k & 0 & 2\\
0 & -2-k & 0\\
0 & 0 & -1-k
\end{pmatrix}[/tex]
Il polinomio caratteristico è uguale a:
[tex](k+1)^2 (k+2)[/tex]
quindi abbiamo
[tex]k_{1}=-1[/tex]
[tex]m_{1}=2[/tex]
[tex]k_{2}=-2[/tex]
[tex]m_{2}=1[/tex]
Provando $k=-1$ abbiamo
[tex]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 2\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/tex]
con rango=2. L'autospazio è $(x,0,0)$, quindi molteplicità geometrica 1 che non è uguale alla moltelplicità algebrica.
Provando $k=-2$ abbiamo
[tex]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/tex]
con rango=2. L'autospazio è $(0,y,0)$, quindi molteplicità geometrica 1 che stavolta è uguale alla moltelplicità algebrica.
Quindi posso dire che l'endomorfismo non è semplice.
Esatto?
[tex]\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2\\
h+2 & h & h+2\\
h+2 & h+2 & h+1
\end{pmatrix}[/tex]
Nel caso $h=-2$ studiare la semplicità.
La matrice diventa:
[tex]\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2\\
0 & -2 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}[/tex]
quindi trovo
[tex]\begin{pmatrix}
-1-k & 0 & 2\\
0 & -2-k & 0\\
0 & 0 & -1-k
\end{pmatrix}[/tex]
Il polinomio caratteristico è uguale a:
[tex](k+1)^2 (k+2)[/tex]
quindi abbiamo
[tex]k_{1}=-1[/tex]
[tex]m_{1}=2[/tex]
[tex]k_{2}=-2[/tex]
[tex]m_{2}=1[/tex]
Provando $k=-1$ abbiamo
[tex]\begin{pmatrix}
0 & 0 & 2\\
0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/tex]
con rango=2. L'autospazio è $(x,0,0)$, quindi molteplicità geometrica 1 che non è uguale alla moltelplicità algebrica.
Provando $k=-2$ abbiamo
[tex]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/tex]
con rango=2. L'autospazio è $(0,y,0)$, quindi molteplicità geometrica 1 che stavolta è uguale alla moltelplicità algebrica.
Quindi posso dire che l'endomorfismo non è semplice.
Esatto?
up
Sì non è diagonalizzabile!
Grazie
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