Esercizio endomorfismo
Salve a tutti,
qualcuno può aiutarmi a risolvere questo esercizio?
Come si fa?
qualcuno può aiutarmi a risolvere questo esercizio?
Siano [tex]A, B \in M_{3,3}(\mathbb{R})[/tex] le matrici:
[tex]A=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 7 \\ 1 & -3 & -1\end{vmatrix}, \qquad B=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}[/tex]
Scrivi le matrici associate agli endomorfismi [tex]L_A, L_B : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3[/tex] rispetto alle due basi seguenti:
[tex]\mathfrak{B}_1 = \left \{ \begin{vmatrix}-3 \\ 3 \\ 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{vmatrix} \right \} \qquad \mathfrak{B}_2 = \left \{ \begin{vmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{vmatrix} \right \}[/tex]
Come si fa?
Risposte
La traccia è incompleta perchè in questo modo non sai in che modo sono definiti gli endomorfismi.
Hai provato a ragionare un pò?
Hai provato a ragionare un pò?
Guarda, l'esercizio l'ho copiato paroparo dal libro... E ci sono stato un secolo sopra prima di rinunciare, non capisco proprio come faccio a definire l'endomorfismo...
Allora sicuramente non conosco la notazione usata.
Forse [tex]L_A[/tex] ed [tex]L_B[/tex] sono definiti attraverso le due matrici [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex]?
Hai provato a fare riferimento a qualche esempio svolto sul libro?
Forse [tex]L_A[/tex] ed [tex]L_B[/tex] sono definiti attraverso le due matrici [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex]?
Hai provato a fare riferimento a qualche esempio svolto sul libro?
Molti usano la seguente notazione:
se [tex]A[/tex] è una matrice quadrata di ordine [tex]n[/tex] a coefficienti in [tex]\mathbb{R}[/tex] (o più in generale in un campo) con [tex]L_A[/tex] si indica l'endomorfismo di [tex]\mathbb{R}^n[/tex] tale che [tex]L_A(x)=Ax[/tex] per ogni [tex]x\in\mathbb{R}^n[/tex] (dove [tex]x[/tex] è pensato come un vettore colonna e [tex]Ax[/tex] è il prodotto righe per colonne).
Naturalmente "mensola" potrà confermarci dando un'occhiata al suo libro o ai suoi appunti
se [tex]A[/tex] è una matrice quadrata di ordine [tex]n[/tex] a coefficienti in [tex]\mathbb{R}[/tex] (o più in generale in un campo) con [tex]L_A[/tex] si indica l'endomorfismo di [tex]\mathbb{R}^n[/tex] tale che [tex]L_A(x)=Ax[/tex] per ogni [tex]x\in\mathbb{R}^n[/tex] (dove [tex]x[/tex] è pensato come un vettore colonna e [tex]Ax[/tex] è il prodotto righe per colonne).
Naturalmente "mensola" potrà confermarci dando un'occhiata al suo libro o ai suoi appunti
"mensola" conferma anche senza libro 
tranne il fatto che [tex]A_{m,n}[/tex] non è per forza quadratata... [tex]L_A[/tex] è semplicemente un modo comodo per rappresentare un'applicazione lineare attraverso la sua matrice associata.
Giusto, [tex]A[/tex] non è per forza quadrata. Se [tex]A\in M_{m,n}(\mathbb{R})[/tex], allora [tex]L_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m[/tex] e agisce sempre allo stesso modo, cioè [tex]L_A(x)=Ax[/tex], con [tex]x\in\mathbb{R}^n[/tex].
e quindi come risolvo?
Dovresti applicare la definizione di matrice associata ad un endomorfismo.
Per esempio calcoliamo la matrice associata ad [tex]L_A[/tex] rispetto alla base [tex]\mathfrak{B}_1[/tex] (sia in partenza che in arrivo).
Chiamiamo [tex]v_1,v_2,v_3[/tex] i vettori della base [tex]\mathfrak{B}_1[/tex].
Calcoli [tex]L_A(v_1)[/tex] e lo scrivi come combinazione lineare di [tex]v_1,v_2,v_3[/tex] come [tex]L_A(v_1)=m_{11}v_1+m_{21}v_2+m_{31}v_3[/tex].
Ottieni così la prima colonna [tex]\left(\begin{matrix}m_{11}\\m_{21}\\m_{31}\end{matrix}\right)[/tex] della matrice associata.
Ripeti lo stesso ragionamento con [tex]L_A(v_2)[/tex] e [tex]L_A(v_3)[/tex] e ottieni rispettivamente la seconda e la terza colonna.
Oppure puoi ricordare che la matrice associata a [tex]L_A[/tex] rispetto alla base canonica è [tex]A[/tex] e che matrici associate allo stesso endomorfismo sono simili. La matrice che realizza la similitudine è la matrice di cambiamento di base dalla base [tex]\mathfrak{B}_1[/tex] alla base canonica (o la sua inversa, non mi ricordo bene, dovrei fare qualche semplice conticino per verificarlo). Da cui puoi ottenere la nuova matrice.
Per esempio calcoliamo la matrice associata ad [tex]L_A[/tex] rispetto alla base [tex]\mathfrak{B}_1[/tex] (sia in partenza che in arrivo).
Chiamiamo [tex]v_1,v_2,v_3[/tex] i vettori della base [tex]\mathfrak{B}_1[/tex].
Calcoli [tex]L_A(v_1)[/tex] e lo scrivi come combinazione lineare di [tex]v_1,v_2,v_3[/tex] come [tex]L_A(v_1)=m_{11}v_1+m_{21}v_2+m_{31}v_3[/tex].
Ottieni così la prima colonna [tex]\left(\begin{matrix}m_{11}\\m_{21}\\m_{31}\end{matrix}\right)[/tex] della matrice associata.
Ripeti lo stesso ragionamento con [tex]L_A(v_2)[/tex] e [tex]L_A(v_3)[/tex] e ottieni rispettivamente la seconda e la terza colonna.
Oppure puoi ricordare che la matrice associata a [tex]L_A[/tex] rispetto alla base canonica è [tex]A[/tex] e che matrici associate allo stesso endomorfismo sono simili. La matrice che realizza la similitudine è la matrice di cambiamento di base dalla base [tex]\mathfrak{B}_1[/tex] alla base canonica (o la sua inversa, non mi ricordo bene, dovrei fare qualche semplice conticino per verificarlo). Da cui puoi ottenere la nuova matrice.
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