Esercizio Endomorfismo

[Eman71]

$ f(x1,x2,x3,x4) = (x1−x2−x3+x4, 2x1−x2−2x3+2x4, −2x1+2x2+3x3−2x4, −2x1+3x2+3x3−2x4) $

Determinare, se esiste, l’insieme $ f^-1(0,2,−2,0) $.

Potreste dirmi come andrebbe svolto questo esercizio? Io farei questo ragionamento ma non so se è corretto.. Anzitutto bisogna vedere che l'endomorfismo sia invertibile, successivamente su risulta invertibile dire $ f^-1(0,2,−2,0) $ equivale a dire se esiste un $ f(x1,x2,x3,x4)=(0,2,-2,0) $

[feddy]

Quell'insieme è la controimmagine, cioè l'insime dei vettori che venogono mandati in $(0,2,-2,0)$. Devi risolvere un sistema lineare.

[Eman71]

Come? Che tipo di sistema?

[feddy]

Data l'appliazione lineare $f$, valutare $f$ in un vettore $v$, cioè $f(v)$ corrisponde al prodotto matrice-vettore $A*v$. Ora, ti basta invertire la matrice $A$ associata all'applicazione lineare (rispetto alla base canonica suppongo, visto che non è specificato altrimenti) e svolgere $A^{-1}v$.

Nel caso $A$ non sia invertibile, puoi sempre risolvere $A*(x_1,x_2,x_3,x_4)^T=(0,2,-2,0)$, che è la stessa cosa

[feddy]

vedi anche qui e qui

[Eman71]

capito, ti ringrazio

[feddy]

Prego