Esercizio Endomorfismo
Salve qualcuno mi può aiutare con questo esercizio?
Sia F appartenente a End(R^3) rappresentata nelle basi canoniche della matrice:
(2 1 0)
(0 1 0)
(1 1 1)
Dire se F è invertibile.
Dire se f è diagonalizzabile
sia B=(1,1,1) (1,2,0) (2,0,0) una base, si calcoli la prima colonna della matrice che rappresenta F rispetto alle basi B nel dominio e quella naturale del codominio.
Grazie in anticipo:)
Sia F appartenente a End(R^3) rappresentata nelle basi canoniche della matrice:
(2 1 0)
(0 1 0)
(1 1 1)
Dire se F è invertibile.
Dire se f è diagonalizzabile
sia B=(1,1,1) (1,2,0) (2,0,0) una base, si calcoli la prima colonna della matrice che rappresenta F rispetto alle basi B nel dominio e quella naturale del codominio.
Grazie in anticipo:)
Risposte
Ciao e benvenuto sul forum. Come dice il regolamento, dovresti postare i tuoi tentativi o almeno le tue idee. Poi concludiamo.
Ok grazie del benvenuto:), ho provato a fare il secondo punto calcolando il determinante della matrice:
(2-t) 1 0
0 (1-t) 0
1 1 (1-t)
da cui mi sono ricavato gli autovalori t=1 con molteplicità algebrica pari a 2, e t=2 con molteplicità algebrica 1, poi mi sono ricavato i due autospazi relativi ai due autovalori e mi sono calcolato il rango che corrisponde alla dimensione dell'autospazio e quindi la molteplicità geometrica, che mi risulta diversa da quella algebrica. E' giusto questo procedimento? Riguardo agli altri due punti non so come fare...
(2-t) 1 0
0 (1-t) 0
1 1 (1-t)
da cui mi sono ricavato gli autovalori t=1 con molteplicità algebrica pari a 2, e t=2 con molteplicità algebrica 1, poi mi sono ricavato i due autospazi relativi ai due autovalori e mi sono calcolato il rango che corrisponde alla dimensione dell'autospazio e quindi la molteplicità geometrica, che mi risulta diversa da quella algebrica. E' giusto questo procedimento? Riguardo agli altri due punti non so come fare...
Ciao, gli autovalori che hai ricavato sono corretti. Il passaggio dopo però non lo è.
Prendiamo la nostra matrice \[\begin{bmatrix}2&1&0\\0&1&0\\1&1&1\end{bmatrix}\] Hai detto, giustamente, che il suo autovalore $\lambda = 1$ ha molteplicità algebrica pari a $2$. Bene, calcoliamo l'autospazio associato trovando \[\text{Ker}\left[A-\lambda I\right] = \text{Ker}\left[A-I\right] = \text{Ker}\begin{bmatrix}1&1&0\\0&0&0\\1&1&0\end{bmatrix}\] Questo risulta formato dall'immagine dei vettori \[\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\] Quindi anche l'autovalore $\lambda=1$ risulta regolare. L'altro ($\lambda=2$) ha molteplicità algebrica pari a $1$, quindi è regolare per forza. In conclusione la matrice è diagonalizzabile.
Prendiamo la nostra matrice \[\begin{bmatrix}2&1&0\\0&1&0\\1&1&1\end{bmatrix}\] Hai detto, giustamente, che il suo autovalore $\lambda = 1$ ha molteplicità algebrica pari a $2$. Bene, calcoliamo l'autospazio associato trovando \[\text{Ker}\left[A-\lambda I\right] = \text{Ker}\left[A-I\right] = \text{Ker}\begin{bmatrix}1&1&0\\0&0&0\\1&1&0\end{bmatrix}\] Questo risulta formato dall'immagine dei vettori \[\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\] Quindi anche l'autovalore $\lambda=1$ risulta regolare. L'altro ($\lambda=2$) ha molteplicità algebrica pari a $1$, quindi è regolare per forza. In conclusione la matrice è diagonalizzabile.
Grazie per la risposta, ma non ho capito bene il passaggio in cui ti ricavi l'immagine dei vettori e dici che è diagonalizzabile, io so che per essere diagonalizzabile si deve verificare che la molteplicità algebrica sia uguale a quella geometrica...
Esatto, infatti la molteplicità algebrica era pari a $2$ e io ho ricavato una base dell'autospazio formata da due vettori. Quindi l'autovalore è regolare.
Altrimenti, se preferisci, puoi guardare la matrice $$A-I = \begin{bmatrix}1&1&0\\0&0&0\\1&1&0\end{bmatrix}$$ e dire che il suo rango è pari a $1$. Quindi la molteplicità geometrica dell'autovalore è pari a $3-1=2$, uguale a quella algebrica.
Altrimenti, se preferisci, puoi guardare la matrice $$A-I = \begin{bmatrix}1&1&0\\0&0&0\\1&1&0\end{bmatrix}$$ e dire che il suo rango è pari a $1$. Quindi la molteplicità geometrica dell'autovalore è pari a $3-1=2$, uguale a quella algebrica.
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