Esercizio endomorfismi
l esercizio che non riesco a fare e questo
"siano $a \in R$ e $f:R^3\rightarrow R^3$ l endomorfismo definito ponendo $f(x,y,z)=(ax,x+ay,az)$ per ogni vettore $(x,y,z) \inR^3$.
determinare la dimensione e una base di$ Imf$ e stabilire se$ f$ è diagonalizzabile o no.
scrivere una matrice reale $A$ che (in qualche base $B$ di$ R^3$)rappresenta$ f$.
che dimensione ha lo spazio vettoriale reale $L(1,A,A^2,A^3)$ generato dalle matrici quadrate reali$ 1,1,A,A^2,A^3$"
ora io scritto la matrice
\begin{pmatrix}a
&0 & 0\\ 1
&a &0 \\ 0
&0 & a
\end{pmatrix}
e ho calcolato il rango al variare di $a$ per determinare la dimensione di $imf$,rango che è uguale a 1 se $a=0$ e uguale a 3 se $a\neq 0$,nel primo caso una base potrebbe essere B_1=(1,0,0) nel secondo invece la generica base B_2=((a,0,0),(1,a,0),(0,0,a)),da qui in poi non so come fare,so che per vedere se è diagonalizzabile il polinomio caratteristico deve avere radici reali e molteplicità algebriche e geometriche devono coincidere per ogni autovalore,oppure basta che ci siano 3 autovalori distinti,ma qui sono un po spiazzato dal parametro,com dovrei impostare il problema?
"siano $a \in R$ e $f:R^3\rightarrow R^3$ l endomorfismo definito ponendo $f(x,y,z)=(ax,x+ay,az)$ per ogni vettore $(x,y,z) \inR^3$.
determinare la dimensione e una base di$ Imf$ e stabilire se$ f$ è diagonalizzabile o no.
scrivere una matrice reale $A$ che (in qualche base $B$ di$ R^3$)rappresenta$ f$.
che dimensione ha lo spazio vettoriale reale $L(1,A,A^2,A^3)$ generato dalle matrici quadrate reali$ 1,1,A,A^2,A^3$"
ora io scritto la matrice
\begin{pmatrix}a
&0 & 0\\ 1
&a &0 \\ 0
&0 & a
\end{pmatrix}
e ho calcolato il rango al variare di $a$ per determinare la dimensione di $imf$,rango che è uguale a 1 se $a=0$ e uguale a 3 se $a\neq 0$,nel primo caso una base potrebbe essere B_1=(1,0,0) nel secondo invece la generica base B_2=((a,0,0),(1,a,0),(0,0,a)),da qui in poi non so come fare,so che per vedere se è diagonalizzabile il polinomio caratteristico deve avere radici reali e molteplicità algebriche e geometriche devono coincidere per ogni autovalore,oppure basta che ci siano 3 autovalori distinti,ma qui sono un po spiazzato dal parametro,com dovrei impostare il problema?
Risposte
Esattamente come faresti in generale. Il polinomio caratteristico viene $p(t)=(a-t)^3$ per cui, a prescindere dalla scelta di $a$, hai un solo autovalore con molteplicità 3, $t=a$. Ora calcola l'autospazio: se viene di dimensione $3$ sei a posto.
ma una cosa,per come veniva a me, l autospazio relativo all autovalore autovalore "a" è generato solo dal vettore 1,0,0 e quindi l endomorfismo non è diagonalizzabile?è giusto?
e poi per determinare la matrice?non basta la matrice che lo rappresenta nella base canonica?
e poi per determinare la matrice?non basta la matrice che lo rappresenta nella base canonica?
La matrice va benissimo. Per l'autospazio in generale l'unica equazione è $y=0$ e quindi l'autospazio risulta $V_0=<(1,0,0),(0,0,1)>$ che ha dimensione 2 e quindi non c'è possibilità in nessun caso.
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