[Esercizio / Dubbio] vettori linearmente indipendenti

[jack1982te]

Ciao a tutti ho un un dubbio sullo svolgimento di questo esercizio:

Sia $U$ il sottospazio di $R^3$ generato dai vettori ${(-4,1,1),(-2,2,0),(2,1,-1)}$ .Calcolare una base per $U$.

SOLUZIONE:

Una base di $U$ è data dai vettori linearmente indipendenti, pertanto li riscrivo in forma matriciale:
$((-4,1,1),(-2,2,0),(2,1,-1))$ $rArr$ R2->R2-(1/2)R1; R3->R3+(1/2)R1 $rArr$ $((-4,1,1),(0,1/2,-1/2),(0,3/2,-1/2) )$ $rArr$ R3->R3-3R2 $( (-4,1,1),(0,1/2,-1/2),(0,0,1) )$

Quindi essendo il rango(A)= 3, i vettori linearmente indipendenti sono 3 ed una base è data dai vettori ${(-4,1,1),(-2,2,0),(2,1,-1)}$

INVECE PROSEGUENDO:
R3->R3-R2 $((-4,1,1),(0,1/2,-1/2),(0,-1/2,1/2))$ $rArr$ $((-4,1,1),(0,1/2,-1/2),(0,0,0))$

Rango(A)=2 e pertanto una base è data dai seguenti vettori: ${(-4,1,1),(-2,2,0)}$

Dove sta l'errore concettuale? Grazie anticipatamente

[mexuss]

Semplice, in R3-R2 ottieni 0 1 0 come valori nell'ultima riga.

Semplicemente calcoli sbagliati

[jack1982te]

Scusami ho sbagliato a scrivere l'operazione elementare che ho effettuato è la seguente:
R3->R3+R2 ed il problema persiste. Ciao

[Frink1]

Non persiste un bel niente, quando sommi le due righe di cui parli accade che

"jack1982te":

$rArr$ R3->R3-3R2 $( (-4,1,1),(0,1/2,-1/2),(0,0,1) )$

R3->R3+R2 $((-4,1,1),(0,1/2,-1/2),(0,1/2,1/2))$

[jack1982te]

Scusami ma io sottraggo, la somma era riferita all'ultimo passaggio dove si annulla l'ultima riga.
Ciao e grazie

[garnak.olegovitc1]

propongo la mia soluzione (non amo il MEG ):
estrapolo dalla matrice \(A:=\begin{Vmatrix}
-4&1 &1 \\
-2&2 &0 \\
2&1 &-1
\end{Vmatrix}\) la sottomatrice di ordine pari al \(\mathbf{rnk}(A)\) e di determinante non nullo, ad esempio \(\begin{Vmatrix}
-4&1 \\
-2&2 \end{Vmatrix}\), orlo tale sottomatrice solo orizzontalmente sino a completare le colonne in numero uguale a quello della matrice principale, ottenendo così \(\begin{Vmatrix}
-4&1 &1 \\
-2&2 &0 \end{Vmatrix}\), le righe di questa sono i vettori liberi cercati!

[jack1982te]

Grazie! Vedendo la tua soluzione il rango della matrice in questione è : Rango(A)=2 e i vettori linearmente indipendenti sono due. Come doveva essere. Però mi rimane un dubbio nel mio procedimento.
In quanto se mi fossi stoppato a $((-4,1,1),(0,1/2,-1/2),(0,0,1))$ il rango mi veniva 3 e a quanto pare i conti sono fatti bene. Forse l'ultimo vettore (0,0,1) essendo un vettore della base canonica lo potevo escludere?

[Frink1]

Hai sbagliato la prima riduzione Gaussiana, dove scrivi $ R_2=R_2-(1/2)*R_1 $. Ottieni le ultime due righe uguali.

[jack1982te]

Ho rifatto i conti e mi sembrano corretti.

La seconda riga l'ottengo come R2=R2-[1/2(R3)] pertanto da $(-2,2,0)$ ottengo $(0,1/2,-1/2)$
I conti sono i seguenti:
$-2+[-4*(-1/2)]=0$
$2+[1*(-1/2)]=1/2$
$0+[1*(-1/2)]=-1/2$
La terza riga l'ottengo come R3=R3+[1/2(R1)] pertanto da da $(2,1,-1)$ ottengo $(0,3/2,-1/2)$
I conti sono i seguenti:

$2+[-4*(1/2)]=0$
$1+[1*(1/2)]=3/2$
$-1+[1*(1/2)]=-1/2$


Non riesco ad individuare l'errore.
Ciao e grazie

[garnak.olegovitc1]

"jack1982te":
$2+[1*(-1/2)]=1/2$

sicuro?

[jack1982te]

lol! mica lo vedevo il 2! grazie!! ahahah

errare è umano, perseverare è diabolico!
Grazie a tutti!