Esercizio/ Dimostrazione

[Fabrufy]

Ciao ragazzi, come al solito nel momento del bisogno mi rivolgo a voi sperando che qualcuno possa aiutarmi con questo esercizio:


Dimostrare che se $X$ è un vettore colonna ed è un autovettore per la matrice $A ∈ Mn×n$ relativo all’autovalore $λ = 3$ allora $X $ è anche autovettore per la matrice $A^2 + A + I $ relativo all’autovettore $13$.


Io ho ragionato così:

Questo equivale a chiedere che la somma delle righe (che altro che non sono che le componenti del nostro vettore) siano tutte uguali.
E quindi ho pensato che la cosa migliore sarebbe una matrice diagonale, per le quali :
$ P A P^-1 = D$ da cui $ PA=PD$ ed essendo$ P$ invertibile posso esplicitarla come le sue colonne linearmente indipendenti $P =C_1 ..... C_n$ . Per questo ho che la mia colonna è equivalente al mio autovettore. Però non capisco molto la seconda parte e soprattuto non penso sia un caso che inserendo $3$ dentro alla matrice $A^2 + A + I $ venga proprio $13$ cioè una sorta di Caley Hamilton.
Spero possiate aiutarmi. Ciao!

[billyballo2123]

Io la farei più semplice. Per definizione di autovalore, $A\cdot X=3X$. Bene, quindi
\[
(A\cdot A+A+I)\cdot X=A\cdot(A\cdot X)+A\cdot X+I\cdot X=A\cdot 3X+3X+X=3(A\cdot X)+4X=3\cdot 3X+4X=13X.
\]