Esercizio dimensione spazi vettoriali
In un esercizio:
Siano in [tex]R^4[/tex] i sottospazi:
[tex]V_1=((x,y,z,t)|x-y=z=0)[/tex] e [tex]V_2=((x,y,z,t)|x+t=y-2z+t=0)[/tex]
Determinare base equazione e dimensione di [tex]V_1+V_2[/tex].
Se non sbaglio dovrei rifarmi o alla formula di Grassman o alla somma diretta, quindi verifico prima mettendo a sistema le due equazioni se vi è una soluzione, in quel caso devo applicare Grassman, altrimenti se l' intersezione è vuota si può calcolare la somma diretta, giusto?
Mi chiedevo inoltre, come faccio ad esempio a calcolare:
[tex]dim(V_1+V_2)[/tex] o [tex]dim(V_1 \cap V_2)[/tex]
Cioè devo sommare nel primo caso le equazioni e studiare il sistema risultante?, per la seconda invece l' intersezione non sarà un punto? Come faccio a calcolare la dimensione.
Siano in [tex]R^4[/tex] i sottospazi:
[tex]V_1=((x,y,z,t)|x-y=z=0)[/tex] e [tex]V_2=((x,y,z,t)|x+t=y-2z+t=0)[/tex]
Determinare base equazione e dimensione di [tex]V_1+V_2[/tex].
Se non sbaglio dovrei rifarmi o alla formula di Grassman o alla somma diretta, quindi verifico prima mettendo a sistema le due equazioni se vi è una soluzione, in quel caso devo applicare Grassman, altrimenti se l' intersezione è vuota si può calcolare la somma diretta, giusto?
Mi chiedevo inoltre, come faccio ad esempio a calcolare:
[tex]dim(V_1+V_2)[/tex] o [tex]dim(V_1 \cap V_2)[/tex]
Cioè devo sommare nel primo caso le equazioni e studiare il sistema risultante?, per la seconda invece l' intersezione non sarà un punto? Come faccio a calcolare la dimensione.
Risposte
La dimensione la calcoli con Grossman. $V_1\cap V_2$ lo trovi mettendo a sistema le eq. dei due spazi.
Paola
Paola
Riscriviamo i sottospazi in questo modo :
$ V_1 = { (x,x,0,t) | x,t in R } $
$ V_2 = { (x,2z-x,z,-x) | x,z in R } $
e quindi
$ V_1 = (: ( 1 ; 1 ; 0 ; 0 ) ; ( 0 ; 0 ; 0 ; 1 ) :) $
$ V_2 = (: ( 1 ; -1 ; 0 ; -1 ) ; ( 0 ; 2 ; 1 ; 0 ) :) $
ora per quanto riguarda la dimensione di $ V_1 +V_2 $ ti basta calcolare il rango della seguente matrice:
$ dim ( V_1 + V_2 ) = rg( (1,1,0,0),(0,0,0,1),(1,-1,0,-1),(0,2,1,0) ) $
e visto che il suo determinante è -2, il suo rango è massimo e quindi uguale a 4;
A questo punto possiamo dire con certezza che $ V_1 + V_2 = R^4 $ ,quindi per la formula di grassman:
$ dim (V_1) + dim (V_2) = dim (V_1 nn V_2) + dim (V_1 + V_2) $
$ 2+2 = dim (V_1 nn V_2) + 4 $
$ dim (V_1 nn V_2) = 0 $
quindi $ V_1 nn V_2 = 0_(R^4) $ e la somma è diretta.
A questo punto è banale la richiesta di base, equazioni e dimensione di $ V_1 + V_2 $ come puoi immaginare...
Spero di esserti stato (nuovamente) d'aiuto...XD se non hai capito qualcosa chiedi pure...:)
$ V_1 = { (x,x,0,t) | x,t in R } $
$ V_2 = { (x,2z-x,z,-x) | x,z in R } $
e quindi
$ V_1 = (: ( 1 ; 1 ; 0 ; 0 ) ; ( 0 ; 0 ; 0 ; 1 ) :) $
$ V_2 = (: ( 1 ; -1 ; 0 ; -1 ) ; ( 0 ; 2 ; 1 ; 0 ) :) $
ora per quanto riguarda la dimensione di $ V_1 +V_2 $ ti basta calcolare il rango della seguente matrice:
$ dim ( V_1 + V_2 ) = rg( (1,1,0,0),(0,0,0,1),(1,-1,0,-1),(0,2,1,0) ) $
e visto che il suo determinante è -2, il suo rango è massimo e quindi uguale a 4;
A questo punto possiamo dire con certezza che $ V_1 + V_2 = R^4 $ ,quindi per la formula di grassman:
$ dim (V_1) + dim (V_2) = dim (V_1 nn V_2) + dim (V_1 + V_2) $
$ 2+2 = dim (V_1 nn V_2) + 4 $
$ dim (V_1 nn V_2) = 0 $
quindi $ V_1 nn V_2 = 0_(R^4) $ e la somma è diretta.
A questo punto è banale la richiesta di base, equazioni e dimensione di $ V_1 + V_2 $ come puoi immaginare...
Spero di esserti stato (nuovamente) d'aiuto...XD se non hai capito qualcosa chiedi pure...:)
Emh, intanto i vettori che tu hai messo per calcolare la dimensione di [tex]V_1+V_2[/tex] non vanno messi in colonna? Mettendoli in colonna io ho ridotto la matrice e trovato rango 3.
Domanda.....se io ho i vettori come colonna e devo verificare se costituiscono una base, si può scegliere come elemento speciale quello dell' ultima riga?
Intendo dire che se non sbaglio quando trovo una colonna dove vi è un numero, e al disotto solo 0, quel vettore è linearmente indimendente, se io devo verificare che un insieme di vettori costituisce una base può capitare ad esempio:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &1 &3 \\
0&2 &0 \\
0&0 &4
\end{pmatrix}[/tex]
In questo caso potrei dire che questi vettori sono linearmente indipendenti considerando come elemento speciale anche il 4?
A parte questo, credo di aver capito che per l' equazione dell' intersezione di due sottospazi, basta mettere a sistema le loro equazioni, ma se devo trovare l' equazione della loro somma, e non posso usare quella diretta, come la ottengo?
Domanda.....se io ho i vettori come colonna e devo verificare se costituiscono una base, si può scegliere come elemento speciale quello dell' ultima riga?
Intendo dire che se non sbaglio quando trovo una colonna dove vi è un numero, e al disotto solo 0, quel vettore è linearmente indimendente, se io devo verificare che un insieme di vettori costituisce una base può capitare ad esempio:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &1 &3 \\
0&2 &0 \\
0&0 &4
\end{pmatrix}[/tex]
In questo caso potrei dire che questi vettori sono linearmente indipendenti considerando come elemento speciale anche il 4?
A parte questo, credo di aver capito che per l' equazione dell' intersezione di due sottospazi, basta mettere a sistema le loro equazioni, ma se devo trovare l' equazione della loro somma, e non posso usare quella diretta, come la ottengo?
ho ricontrollato, e il determinante della matrice mi viene -2, e il determinante non cambia se trasponiamo la matrice, quindi se ci mettiamo i vettori in riga o in colonna non cambia nè determinante nè rango perchè con determinante sempre diverso da zero, il rango rimane sempre massimo.
Quindi ricontrolla i calcoli della riduzione con la quale hai trovato rango 3.
Non riesco purtroppo a capire cosa intendi per elemento speciale...forse intendi pivot?
Comunque per quanto riguarda la tua domanda sulla somma non diretta, la somma di due spazi vettoriali è generata dall'unione delle sue basi, quindi unisci le basi dei due spazi sommati, e verifichi che siano linearmente indipendenti, altrimenti togli i vettori linearmente dipendenti fino a farla diventare una base...
Quindi ricontrolla i calcoli della riduzione con la quale hai trovato rango 3.
Non riesco purtroppo a capire cosa intendi per elemento speciale...forse intendi pivot?
Comunque per quanto riguarda la tua domanda sulla somma non diretta, la somma di due spazi vettoriali è generata dall'unione delle sue basi, quindi unisci le basi dei due spazi sommati, e verifichi che siano linearmente indipendenti, altrimenti togli i vettori linearmente dipendenti fino a farla diventare una base...
Allora la matrice che ho è:
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &-1 &0 \\
1&0 &-1 &2 \\
0&0 &0 &1 \\
0&1 &1 &0
\end{pmatrix}[/tex]
Effettuo le riduzioni:
[tex]R_2=R_1-R_2[/tex]
[tex]R_3=R_2+2R_3[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &-1 &0 \\
0&0 &0 &-2 \\
0&0 &0 &0 \\
0&1 &1 &0
\end{pmatrix}[/tex]
Non ha rango 3?
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &-1 &0 \\
1&0 &-1 &2 \\
0&0 &0 &1 \\
0&1 &1 &0
\end{pmatrix}[/tex]
Effettuo le riduzioni:
[tex]R_2=R_1-R_2[/tex]
[tex]R_3=R_2+2R_3[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}
1 &0 &-1 &0 \\
0&0 &0 &-2 \\
0&0 &0 &0 \\
0&1 &1 &0
\end{pmatrix}[/tex]
Non ha rango 3?
Il rango della matrice che hai scritto è 3, ma la matrice che hai scritto non è corretta...la mia terza riga, e rispettivamente la tua terza colonna non sono ugualli...
Scusa devo aver fatto degli errori nel ricopiare le matrici ma hai ragione tu. Allora devo capire solo due cose.
La matrifce ha rango 3 e si verifica come abbiamo visto che l' intersezione tra i due sottospazi è vuota quindi si ha la somma diretta allora [tex]dim(V_1+V_2)=4[/tex] semplicemente?
Ora una domanda su un esercizio svolto, scusami.
Pag 151 Esempio 26.7.
http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... screta.pdf
Seguendo tutto il lavoro alla fine viene scritto a pag 152 che [tex]W_1+W_2=Span(v_1,v_2,u_1,u_2)=Span(v_1.v_2.u_1)[/tex]
Quindi la mia domanda era, anche se tu mi hai già dato una risposta. Per l' equazione dell' intersezione prendo i 4 vettori e li metto a sistema per determinare l' equazione, per determinare quella NON dell' intersezione, ma l' equazione di [tex]W_1+W_2[/tex] la posso ottenere invece mettendo solo i 3 vettori [tex](v_1,v_2,u_1)[/tex] a sistema?
La matrifce ha rango 3 e si verifica come abbiamo visto che l' intersezione tra i due sottospazi è vuota quindi si ha la somma diretta allora [tex]dim(V_1+V_2)=4[/tex] semplicemente?
Ora una domanda su un esercizio svolto, scusami.
Pag 151 Esempio 26.7.
http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... screta.pdf
Seguendo tutto il lavoro alla fine viene scritto a pag 152 che [tex]W_1+W_2=Span(v_1,v_2,u_1,u_2)=Span(v_1.v_2.u_1)[/tex]
Quindi la mia domanda era, anche se tu mi hai già dato una risposta. Per l' equazione dell' intersezione prendo i 4 vettori e li metto a sistema per determinare l' equazione, per determinare quella NON dell' intersezione, ma l' equazione di [tex]W_1+W_2[/tex] la posso ottenere invece mettendo solo i 3 vettori [tex](v_1,v_2,u_1)[/tex] a sistema?
Per determinare l'equazione di $ W_1+W_2 $ non devi "mettere a sistema" i suoi vettori generatori, ma devi semplicemente metterli tutti insieme a generare il sottospazio $ W_1+W_2 $!
Quindi riassumendo:
L'intersezione la puoi ricavare mettendo a sistema le equazioni dei sottospazi.
L'unione la ricavi mettendo insieme i vettori generatori, e dopo di questo puoi ricavarti anche le equazioni, quindi in generale l'unione non la ricavi dalle equazioni, ma dai vettori della base...
Quindi riassumendo:
L'intersezione la puoi ricavare mettendo a sistema le equazioni dei sottospazi.
L'unione la ricavi mettendo insieme i vettori generatori, e dopo di questo puoi ricavarti anche le equazioni, quindi in generale l'unione non la ricavi dalle equazioni, ma dai vettori della base...
Mh devi scusarmi è che ho una gran confusione in testa su questo argomento, nonostante stia studiando la teoria insieme, ma proprio non mi piace affatto questa parte. I vettori generatori....Cioè sono quelli che tu hai trovato che costituiscono la base?
[tex]V_1 = ( ( 1 ; 1 ; 0 ; 0 ) ; ( 0 ; 0 ; 0 ; 1 ))[/tex]
[tex]V_2 = ( ( 1 ; -1 ; 0 ; -1 ) ; ( 0 ; 2 ; 1 ; 0 ))[/tex]
Dovrei mettere questi nella matrice come colonna dei termini noti [tex]x,y,z[/tex] e trovo l' equazione?
[tex]V_1 = ( ( 1 ; 1 ; 0 ; 0 ) ; ( 0 ; 0 ; 0 ; 1 ))[/tex]
[tex]V_2 = ( ( 1 ; -1 ; 0 ; -1 ) ; ( 0 ; 2 ; 1 ; 0 ))[/tex]
Dovrei mettere questi nella matrice come colonna dei termini noti [tex]x,y,z[/tex] e trovo l' equazione?
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