[Esercizio] dim sottospazio dello spazio degli endomorfismi
Scusate non riesco a capire come risolve questa tipologia di esercizi:
Siano
\(\displaystyle V_1 = \{ (x1, ... , x5) \in \mathbb{R}^5 | x1 + x2 - x3 = 0; x3 - x4 = 0; x5 = 0\} \)
\(\displaystyle V_2 = \{ (x1, ... , x5) \in \mathbb{R}^5| x1 + x5 = 0; x2 -x3 = 0 \} \)
\(\displaystyle V_3 = Span((0, 0, 0, 1, 1)) \)
Si determini la dimensione del seguente sottospazio vettoriale dello spazio degli
endomor smi lineari di \(\displaystyle \mathbb{R}^5\):
\(\displaystyle W = \{F \in End(\mathbb{R}^5) | F(V_i) \subseteq V_i \forall i = 1,2,3 \} \)
Io trovo la dimensione dei vari spazi vettoriali e trovo anche le loro intersezioni e la dimensione delle intersezioni. ma poi non so come andare avanti! Qualcuno mi può spiegare? grazie
E' il mio primo post chiedo scusa se ho sbagliato qualcosa!
Siano
\(\displaystyle V_1 = \{ (x1, ... , x5) \in \mathbb{R}^5 | x1 + x2 - x3 = 0; x3 - x4 = 0; x5 = 0\} \)
\(\displaystyle V_2 = \{ (x1, ... , x5) \in \mathbb{R}^5| x1 + x5 = 0; x2 -x3 = 0 \} \)
\(\displaystyle V_3 = Span((0, 0, 0, 1, 1)) \)
Si determini la dimensione del seguente sottospazio vettoriale dello spazio degli
endomor smi lineari di \(\displaystyle \mathbb{R}^5\):
\(\displaystyle W = \{F \in End(\mathbb{R}^5) | F(V_i) \subseteq V_i \forall i = 1,2,3 \} \)
Io trovo la dimensione dei vari spazi vettoriali e trovo anche le loro intersezioni e la dimensione delle intersezioni. ma poi non so come andare avanti! Qualcuno mi può spiegare? grazie
E' il mio primo post chiedo scusa se ho sbagliato qualcosa!
Risposte
$V_3$ è scritto male, sarebbe $Span<(0, 0, 0, 1, 1)>$ oppure $Span<(0, 0, 1, 1, 1)>$?
Hai ragione scusate!
\(\displaystyle V_3=Span <(0,0,0,1,1)> \)
\(\displaystyle V_3=Span <(0,0,0,1,1)> \)
torna anche a te così?
il vettore che genera $V_3$ non è contenuto né in $V_1$ né in $V_2$, perciò $V_1 nn V_3 = {0}$ e $V_2 nn V_3 = {0}$.
Invece $V_1 nn V_2 = Span<(0, 1, 1, 1, 0)>$.
Una base di $V_1$ ottenuta per completamento da quella di $V_1 nn V_2$ è ${(0, 1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 1, 0)}$.
Una base di $V_2$ ottenuta per completamento da quella di $V_1 nn V_2$ è ${(0, 1, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0, -1), (0, 0, 0, 1, 0)}$.
Adesso vediamo come potremmo costruire un'applicazione lineare $f$ tale che $f(V_i) sube V_i$.
- Poniamo subito che $(0, 0, 0, 1, 1) |-> a(0, 0, 0, 1, 1)$ così sarà che $f(V_3) sube V_3$
- Se $f(V_1) sube V_1$ e $f(V_2) sube V_2$, allora sarà anche $f(V_1 nn V_2) sube V_1 nn V_2$, cioè anche le intersezioni saranno spazi invarianti: facciamo allora che $(0, 1, 1, 1, 0)$ va in $b(0, 1, 1, ,1 0)$.
- per fare in modo che $f(V_1) sube V_1$ basterà imporre che l'immagine tramite $f$ dell'altro vettore della base di $V_1$, $(1, 0, 1, 1, 0)$, appartenga a $V_1$, e questo lo scriviamo così:
$(1, 0, 1, 1, 0) |-> c(0, 1, 1, 1, 0) + d(1, 0, 1, 1, 0)$
- per fare in modo che $f(V_2) sube V_2$ dovremo imporre che le immagini tramite $f$ degli altri due vettore della base di $V_2$, $(0, 0, 0, 1, 0)$ e $(1, 0, 0, 0, -1)$, appartengano a $V_1$:
$(0, 0, 0, 1, 0) |-> e(0, 1, 1, 1, 0) + f(0, 0, 0, 1, 0) + g(1, 0, 0, 0, -1)$
$(1, 0, 0, 0, -1) |-> h(0, 1, 1, 1, 0) + i(0, 0, 0, 1, 0) + l(1, 0, 0, 0, -1)$
a questo punto $f$ sarà tale che $f(V_i) sube V_i$, ma avendo imposto queste condizioni $f$ è completamente definita, perché la abbiamo definita su una base di $RR^5$. Perciò abbiamo finito di costruire $f$, non c'è da aggiungere altro. Quanti parametri abbiamo usato? 10. Questa sarà allora la dimensione dello spazio.
il vettore che genera $V_3$ non è contenuto né in $V_1$ né in $V_2$, perciò $V_1 nn V_3 = {0}$ e $V_2 nn V_3 = {0}$.
Invece $V_1 nn V_2 = Span<(0, 1, 1, 1, 0)>$.
Una base di $V_1$ ottenuta per completamento da quella di $V_1 nn V_2$ è ${(0, 1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 1, 0)}$.
Una base di $V_2$ ottenuta per completamento da quella di $V_1 nn V_2$ è ${(0, 1, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0, -1), (0, 0, 0, 1, 0)}$.
Adesso vediamo come potremmo costruire un'applicazione lineare $f$ tale che $f(V_i) sube V_i$.
- Poniamo subito che $(0, 0, 0, 1, 1) |-> a(0, 0, 0, 1, 1)$ così sarà che $f(V_3) sube V_3$
- Se $f(V_1) sube V_1$ e $f(V_2) sube V_2$, allora sarà anche $f(V_1 nn V_2) sube V_1 nn V_2$, cioè anche le intersezioni saranno spazi invarianti: facciamo allora che $(0, 1, 1, 1, 0)$ va in $b(0, 1, 1, ,1 0)$.
- per fare in modo che $f(V_1) sube V_1$ basterà imporre che l'immagine tramite $f$ dell'altro vettore della base di $V_1$, $(1, 0, 1, 1, 0)$, appartenga a $V_1$, e questo lo scriviamo così:
$(1, 0, 1, 1, 0) |-> c(0, 1, 1, 1, 0) + d(1, 0, 1, 1, 0)$
- per fare in modo che $f(V_2) sube V_2$ dovremo imporre che le immagini tramite $f$ degli altri due vettore della base di $V_2$, $(0, 0, 0, 1, 0)$ e $(1, 0, 0, 0, -1)$, appartengano a $V_1$:
$(0, 0, 0, 1, 0) |-> e(0, 1, 1, 1, 0) + f(0, 0, 0, 1, 0) + g(1, 0, 0, 0, -1)$
$(1, 0, 0, 0, -1) |-> h(0, 1, 1, 1, 0) + i(0, 0, 0, 1, 0) + l(1, 0, 0, 0, -1)$
a questo punto $f$ sarà tale che $f(V_i) sube V_i$, ma avendo imposto queste condizioni $f$ è completamente definita, perché la abbiamo definita su una base di $RR^5$. Perciò abbiamo finito di costruire $f$, non c'è da aggiungere altro. Quanti parametri abbiamo usato? 10. Questa sarà allora la dimensione dello spazio.
Si adesso mi torna tutto! Ti ringrazio veramente tanto sei stato molto chiaro! un'ultima domanda se dovessi costruire la matrice associata all'endomorfismo come dovrei fare? grazie
Scusate la domanda probabilmente sciocca, ma come avete trovato $V1\capV2$? Io l'ho fatto in vari modi, ma non riesco a trovare ${(0,1,1,1,0)}$!
io ho messo a sistema le equazioni di $V_1$ e $V_2$ e viene $ x5=0$ , $x1=0$ , $x2=x3$ e $x3=x4$ da questo ho trovato la base $(0,1,1,1,0)$
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