Esercizio dim e base di sottospazi di polinomi
Dati i seguenti sottospazi di grado minore o uguale a 3
H=[p(x) E R3(x)| p(x)=(ax+b)(x^2+1)]
K=[p(x) E R3(x)| p(x)=c(1+x^3)+dx]
1)determinare basi e dim di H e K
io avrei creato uan matrice così
1010
0101
0000
rg=dim=2 e avrei preso i primi due come basi ma non credo sia giusto
2)completare la base di H ad una base di R3(x)
non ho mai capito se la base che scelgo oltre ad essere lin indip deve risolvere l'eq.
3)determinare dimensione e basi per H ∩ K
credo basti vedere tra le basi di intrambi rango e indipend lineare
grazie
H=[p(x) E R3(x)| p(x)=(ax+b)(x^2+1)]
K=[p(x) E R3(x)| p(x)=c(1+x^3)+dx]
1)determinare basi e dim di H e K
io avrei creato uan matrice così
1010
0101
0000
rg=dim=2 e avrei preso i primi due come basi ma non credo sia giusto
2)completare la base di H ad una base di R3(x)
non ho mai capito se la base che scelgo oltre ad essere lin indip deve risolvere l'eq.
3)determinare dimensione e basi per H ∩ K
credo basti vedere tra le basi di intrambi rango e indipend lineare
grazie
Risposte
Vediamo di scrivere in maniera chiara:
$H={p(x)inRR_3(x)|p(x)=ax^3+bx^2+ax+b}$
$K={p(x)inRR_3(x)|p(x)=cx^3+dx+c}$
In questi casi conviene utilizzare l'isomorfismo canonico: $\psi:R_3(x)toRR^4$
con $\psi(ax^3+bx^2+cx+d)=(a,b,c,d)$.
Alla luce dell'isomorfismo si ha:
$H={(a,b,a,b)|a,binRR}$ e $K={(c,0,d,c)|c,dinRR}$
$H={p(x)inRR_3(x)|p(x)=ax^3+bx^2+ax+b}$
$K={p(x)inRR_3(x)|p(x)=cx^3+dx+c}$
In questi casi conviene utilizzare l'isomorfismo canonico: $\psi:R_3(x)toRR^4$
con $\psi(ax^3+bx^2+cx+d)=(a,b,c,d)$.
Alla luce dell'isomorfismo si ha:
$H={(a,b,a,b)|a,binRR}$ e $K={(c,0,d,c)|c,dinRR}$
No aspetta, forse spiegando come lo avrei svolto io non ho fatto altro che disorientare.
Comunque non ho capito bene come hai fatto!
Comunque non ho capito bene come hai fatto!
Perchè dovrebbe passare in R4?
bisogna determinare la dimensione e la base quindi la dim deve essere necessariamente < o al piu = alla dim del sottospazio!
bisogna determinare la dimensione e la base quindi la dim deve essere necessariamente < o al piu = alla dim del sottospazio!
In sostanza weblan si facilita i conti identificando $p(x) \in R_3[x]$ con una enupla di $RR^4$ . Ciò è lecito in quanto $RR_3[x] $ ed $RR^4$ sono due spazi vettoriali isomorfi.
Trova che $H= { (a,b,a,b) | a,b \in RR} = <(1,0,1,0) , ( 0,1,0,1)>$ , che ha dimensione $2$.
Non dimentichiamoci però che si operava con polinomi. Quindi mediante l'isomorfismo si ha che $(1,0,1,0)-=x^3+x$ e
$(0,1,0,1) -= x^2+1$ e dunque il nostro $H = < x^3+x , x^2+1>$.Stesso identico ragionamento per $K$. Si ha che
$K=$.
Per l'altro punto, ad esempio, puoi completare $H$ alla base ${1,x,x^2,x^3}$. Anche qui potresti utilizzare l'iso canonico per evitare di portarti dietro indeterminate scomode.
(comunque che vuol dire che deve risolvere l'equazione?)
Trova che $H= { (a,b,a,b) | a,b \in RR} = <(1,0,1,0) , ( 0,1,0,1)>$ , che ha dimensione $2$.
Non dimentichiamoci però che si operava con polinomi. Quindi mediante l'isomorfismo si ha che $(1,0,1,0)-=x^3+x$ e
$(0,1,0,1) -= x^2+1$ e dunque il nostro $H = < x^3+x , x^2+1>$.Stesso identico ragionamento per $K$. Si ha che
$K=
Per l'altro punto, ad esempio, puoi completare $H$ alla base ${1,x,x^2,x^3}$. Anche qui potresti utilizzare l'iso canonico per evitare di portarti dietro indeterminate scomode.
(comunque che vuol dire che deve risolvere l'equazione?)
Ma è normale che i vettori siano da 4 elementi? è per il grado 3 del polinomio vero?
e per completare la base hai controllato l'indip lineare del vett rispetto alle altre basi e basta giusto? non devo usare un vett della base canonica?
domanda stupida probabilmente
E per l'intersezione ho solo il vettore nullo? e in questo la dimensione anche è nulla?
e per completare la base hai controllato l'indip lineare del vett rispetto alle altre basi e basta giusto? non devo usare un vett della base canonica?
domanda stupida probabilmente
E per l'intersezione ho solo il vettore nullo? e in questo la dimensione anche è nulla?
$K_n[x]$ in generale ha dimensione pari a $n+1$, sei d'accordo?
In secondo luogo, sai cosa significa completare una base? conosci il teorema di completamento delle basi?
In secondo luogo, sai cosa significa completare una base? conosci il teorema di completamento delle basi?
giusto quindi 3+1=4?
completare una base in questo caso significa trovare un vettore lin indip per portare la base in R3[x] no?
io so che si usa il vettore della base canonica in questi casi ma non so se posso usarli sempre!Cioè basta confermare l'ind lineare?
completare una base in questo caso significa trovare un vettore lin indip per portare la base in R3[x] no?
io so che si usa il vettore della base canonica in questi casi ma non so se posso usarli sempre!Cioè basta confermare l'ind lineare?
"DarkestNight":
giusto quindi 3+1=4?
completare una base in questo caso significa trovare un vettore lin indip per portare la base in R3[x] no?
io so che si usa il vettore della base canonica in questi casi ma non so se posso usarli sempre!Cioè basta confermare l'ind lineare?
Praticamente puoi passare tranquillamente da \(\displaystyle \mathbb{R}_3 [x] \) a \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \) poiché esiste un isomorfismo cioè il vettore \(\displaystyle (x^3,x^2,x,1)=(x^3,0,0,0)+(0,x^2,0,0)+(0,0,x,0)+(0,0,0,1) \) cheportato in base di \(\displaystyle R^4 \) diviene \(\displaystyle (1,0,0,0)+(0,1,0,0)+(0,0,1,0)+(0,0,0,1) =(1,1,1,1)\) capito?
Per il completamenti a base usa sempre \(\displaystyle R^4 \) aggiungendo ai vettori che sono basi di \(\displaystyle H,K \) tutti i 4 vettori di base canonica e scrivi una matriciona fatta dalle basi di H(per esempio) e quelli della base canonica poi riduci a scalin e vedi le colonne con i pivots e usa il teorema delle colonne, trovi una base di \(\displaystyle R^4 \) fatta da un completamento a base dei vettori che sono base di H.
Stessa cosa per K.
ma perchè la somma tra i vettori?
grazie della partecipazione ariz!
grazie della partecipazione ariz!
bè un vettore puoi vederlo come una matrice n x 1 
comunque per il resto tutto chiaro? Cambi dalla base canonica delo spazio dei polinomi a quella di \(\displaystyle R^4 \)
comunque per il resto tutto chiaro? Cambi dalla base canonica delo spazio dei polinomi a quella di \(\displaystyle R^4 \)
Ok, ma non mi spiego la somma per ottenere il nuovo vettore!E' lin dipendente poi!
Non potrei completare con (X^3, 0, 0, 0)? o con (0,X^2, 0, 0)?
E poi cambia qualcosa se specifica "spazio vettoriale dei polinomi di grado MINORE o UGUALE a 3?"
Non potrei completare con (X^3, 0, 0, 0)? o con (0,X^2, 0, 0)?
E poi cambia qualcosa se specifica "spazio vettoriale dei polinomi di grado MINORE o UGUALE a 3?"
"DarkestNight":
Ok, ma non mi spiego la somma per ottenere il nuovo vettore!E' lin dipendente poi!
Non potrei completare con (X^3, 0, 0, 0)? o con (0,X^2, 0, 0)?
E poi cambia qualcosa se specifica "spazio vettoriale dei polinomi di grado MINORE o UGUALE a 3?"
No non c entra molto la somma ,riguardati bene il cambiamento di base
per il completamento a base devi vedere in che spazio stai lavorando !! Se sei in \(\displaystyle matthbb{R}[x] \) vedi se i vettori basi di H che hai trovato sono lin indip con (x^3,0,0,0) e (0,x^2,0,0) e se nn lo fossero???
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