Esercizio difficile di Geometria Affine

[Gaal Dornick]

Quest'esercizio era nella traccia di uno scritto di Geometria.. l'ho risolto ma la soluzione m'è stata contestata.. Tuttavia non riesco a immaginare con chiarezza il problema..quindi lo posto: come lo risolvereste??

nello spazio si determino le rette passanti per $A(0,1,0)$, perpendicolari alla retta $r: {(y=0); (x=z)$ e aventi minima distanza $1/sqrt(2)$ da $r$

[Sk_Anonymous]

Il problema si puo' risolvere così.
Sia p il piano per A(0,1,0) e perpendicolare ad r.Con facili calcoli si trova che tale piano ha equazione:
$x+z=0$
L'intersezione di p con r e' il punto O(0,0,0)
Consideriamo ora i (due) piani passanti per A,perpendicolari a p ed aventi dal punto O
distanza proprio uguale a $(sqrt(2))/2$.
L'equazione del generico piano passante per A e' :
$ax+b(y-1)+cz=0$ ed i parametri a,b,c ,per quanto detto, devono soddisfare le due condizioni:
${(a*1+b*0+c*1=0),((|b|)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))=(sqrt(2)/2)):}$
Da cui si ricava che i piani richiesti sono esattamente 2 ( a ed a') con equazioni rispettivamente:
(a) $x-sqrt(2)(y-1)-z=0$ e (a') $x+sqrt(2)(y-1)-z=0$
Le rette intersezioni di questi due piani con p (ovvero le rette AH=t e AK=t' della figura) sono le rette richieste, di equazioni:
${(x+z=0),(x-sqrt(2)(y-1)-z=0):}$
e
${(x+z=0),(x+sqrt(2)(y-1)-z=0):}$
karl

[Gaal Dornick]

Anzitutto grazie per la completissima risposta, e per il semplificatore disegno.

Allora:
Perfetto: esattamente la mia risoluzione.

L'obbiezione che m'è stata fatta è: non è detto che la distanza tra le due rette sia dal punto O, e quindi dovevo lasciare tutto parametrico..e risolvere fino alla fine con i parametri e ottenere condizioni su questi.
Prendevo un punto generico di r (ad esempio $P(t,0,t)$), prendevo un punto generico della retta cercata (che quindi sarà $Q( -nt',1+mt',nt')$) e imponevo che $vec(OP) perp vec(AQ)$
così da ottenere condizioni sulla perpendicolarità e poi imponevo $||vec(OQ)||=1/sqrt(2)$
per ottenere tutto.

Ora: la soluzione del professore mi convince, ma voglio capire perchè non va bene la mia! Non mi convince l'obbiezione fattami.. e in futuro vorrei potermi fidare della mia preparazione in Geoemetria..

Tranquillo, ormai non c'è più troppa "fretta".. visto che poi all'orale ho avuto 30!

[Sk_Anonymous]

Innanzitutto complimenti per il bel 30 !!!
Per il resto ,sembra strano che il tuo prof non accetti soluzioni diverse dalla propria...
Se valesse tale principio non ce ne sarebbe piu' per nessuno.
Ne' all'Universita' e ne' ...sul Forum.
Questi prof.,valli a capire
karl

[Gaal Dornick]

Ok, si..quel prof è pazzo: ma bypassandolo, per la mia cultura, come giustifico davanti alla sua teoria la mia?
Cioè come faccio a dimostrare che la mia/tua strada giunge lo stesso al risultato?

Soprattutto non riesco a dimostrare che la proiezione tra O e il piano perpendicolare sia sul piano p? Perchè se lo dimostrassi penso giustificherei.. Bah però sono un po' stanco, mi devo convincere a pensare seriamente..ora sto giochicchiando..
Che dici tu?