Esercizio diagonalizzazione di una matrice

[peppe_sic]

Ciao ragazzi mi sono rifatto ad altri post ed ho svolto questo esercizio, vorrei sapere da qualcuno di voi se è corretto.

Data la matrice verificare che sia diagonalizzabile e in caso affermativo verificare che la matrice diagonale D è simile ad A.

$A=((2,1,-1),(1,0,1),(-1,1,2))$

Svolgimento:

Calcolo il polinomio caratteristico: Per problemi di scrittura dico che per calcolare il polinomio caratteristico basta sottrarre alla diagonale principale $\lambda$ , per poi calcolare il $det$ di tale matrice ottenendo:
-$\lambda^3$+4$\lambda^2$-$\lambda$ $-6$=0

Che scomponendolo con ruffini ottengo
($\lambda$+1)(-$\lambda^2$+5$\lambda$-6)

i cui autovalori sono
$\lambda1$=$-1$ molteplicità algebrica $1$
$\lambda2$=$-3$ molteplicità algebrica $1$
$\lambda3$=$2$ molteplicità algebrica $1$

Per cui la prima condizione, ovvero che la somma delle molteplicità algebrica sia pari all'ordine n della matrice (nel nostro caso $n=3$) affinchè una matrice sia diagonalizzabile è verificata

Ora verifichiamo la seconda condizione, ovvero che la molteplicità geometrica di ciascun autovalore coincida con la relativa molteplicità algebrica

$mg(-1)=n-$ $\lambda1$ $Id$ = $3-rank((1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1))$ $Rank=3$
$1=ma(-1)$ $!=$ $mg(-1)=0$
La matrice per questo autovalore non è diagonalizzabile.

$mg(-3)=n-$ $\lambda2$ $Id$ = $3-rank((-1,1,-1),(1,-3,1),(-1,1,-1))$ $Rank=2$
$1=ma(-3)$ $!=$ $mg(-3)=1$
la matrice è diagonalizzabile
autospazio relativo a $\lambda2$ = -3
$((-1,1,-1),(1,-3,1),(-1,1,-1))$ $((x),(y),(z))$ = $((0), (0), (0))$

$\{(-x + y - z = 0),(x-3y-z=0),(-x+y-z=0):}$

$\{(x= + y - z ),(y-z-3y-z=0),(-y-z+y-z=0):}$

$\{(x=y-z),(y=0),(0=0):}$
ottenendo:
$v_1$ $(1, 1, 0)$
$v_2$ $(-1, 0, 1)$

$mg(2)=n-$ $\lambda3$ $Id$ = $3-rank((0,1,-1),(1,-2,1),(-1,1,0))$ $Rank=2$
$1=ma(2)$ $!=$ $mg(2)=1$
la matrice è diagonalizzabile
autospazio relativo a $\lambda2$ = -3
$((0,1,-1),(1,-2,1),(-1,1,0))$ $((x),(y),(z))$ = $((0), (0), (0))$

$\{( y - z = 0),(x-2y+z=0),(-x+y=0):}$

$\{(y= z ),(x-2z+z=0),(-x+z=0):}$

$\{(y=z),(x=z),(0=0):}$
ottenendo:
$v_3$ $(1, 1, 1)$

$P=((1,-1,1),(1,0,1),(0,1,1))$ $D=((-3,0,0),(0,-3,0),(0,0,2))$

ometto gli altri calcoli attendo vostre risposte

[tub1]

Ciao peppe, seppur io non sia un esperto provo a risponderti.

Ho svolto parzialmente l'esercizio e ho trovato questi errori:

1) Gli autovalori sono: $ lambda = -1, lambda=2, lambda=3 $ e non $ lambda=-3 $

Il polinomio caratteristico che hai scritto è giusto, hai sbagliato poi a calcolare gli zeri del polinomio, WolframAlpha conferma http://www.wolframalpha.com/input/?i=-x%5E3%2B4x%5E2-x-6

2) Calcolando l'autospazio per l'autovalore $ lambda=-1 $ hai fatto l'errore di sottrarre $ -1 $. Ricorda che il polinomio caratteristico è dato da $ det(A-lambdaI) $. In questo caso $ lambda=-1 $ bisogna calcolare $ det(A+1*I) $ e quindi la matrice che si ottiene è

$ ( ( 3,1,-1),( 1,1,1 ),( -1,1,3 ) ) $

il cui $ rank=2 $ allora la $ mg(-1)=1=ma(-1) $