Esercizio diagonalizzazione con parametro
Salve ragazzi! Sto cercando di risolvere questo esercizio:
Sia S=$((1,1,-h),(0,1,0),(0,1,h))$ una matrice ad elementi reali.
a) Si stabilisca per quali valori del parametro reale h la matrice S è diagonalizzabile;
b) Per h=1 si determinino gli autospazi di S.
Prima di scrivere questo nuovo argomento, ho fatto una ricerca sul forum ma non ho compreso come condurre la discussione con il parametro. Non mi è stato mai proposto un esercizio del genere, e non so come comportarmi.
Ringrazio anticipatamente chiunque abbia voglia di aiutarmi!
Sia S=$((1,1,-h),(0,1,0),(0,1,h))$ una matrice ad elementi reali.
a) Si stabilisca per quali valori del parametro reale h la matrice S è diagonalizzabile;
b) Per h=1 si determinino gli autospazi di S.
Prima di scrivere questo nuovo argomento, ho fatto una ricerca sul forum ma non ho compreso come condurre la discussione con il parametro. Non mi è stato mai proposto un esercizio del genere, e non so come comportarmi.
Ringrazio anticipatamente chiunque abbia voglia di aiutarmi!
Risposte
a) Trovi il polinomio caratteristico:
$X-S=((x-1,-1,h),(0,x-1,0),(0,-1,x-h))=>(x-1)(x-1)(x-h)$
Questa matrice sarà diagonalizzabile se il rango della matrice meno l'identità è pari a 1:
$S-1=((0,1,-h),(0,0,0),(0,1,h-1))$
Questa matrice ha rango uno se e solo se
$-h=h-1=>h=1/2$
Quindi la matrice è diagonalizzabile solo per $h=1/2$
b) Sono i conti soliti con la matrice:
$((1,1,1),(0,1,0),(0,1,1))$
$X-S=((x-1,-1,h),(0,x-1,0),(0,-1,x-h))=>(x-1)(x-1)(x-h)$
Questa matrice sarà diagonalizzabile se il rango della matrice meno l'identità è pari a 1:
$S-1=((0,1,-h),(0,0,0),(0,1,h-1))$
Questa matrice ha rango uno se e solo se
$-h=h-1=>h=1/2$
Quindi la matrice è diagonalizzabile solo per $h=1/2$
b) Sono i conti soliti con la matrice:
$((1,1,1),(0,1,0),(0,1,1))$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo