Esercizio diagonalizzabilità

[nicola.cortese.7]

Salve a tutti , non riesco ad andare oltre in questo esercizio che ha dato il prof..
Testo es: $ L(x,y,z)=(-x+z,ax-az,-5x-4y-5z) $
decidere per quali valori di a $ in $ R (reali) , l'endomorfismo L è diagonalizzabile.

io avevo inziato in questo modo l'esercizio :
Soluzione:
verifichiamo le 2 condizioni :
(i)P(x) è completamente riducibile
(ii) per ogni autovalore $ lambda $ : MA($ lambda $) = MG( $ lambda $)
$ A_(L(B))^B =( ( -1 , 0 , 1 ),( a , 0 , -a ),( -5 , -4 , -5 ) ) $ e quindi
$ P(X) = det ( ( -1-X , 0 , 1 ),( a , -X , -a ),( -5 , -4 , -5-X ) ) $
(-1-x)(-x)(-5-x)-4a - [5x+4a(-1-x)]
$ x(-x^2-6x+4a)=0 $

E da qui non riesco più andare avanti a causa di quelle parentesi col parametro a che mi blocca ..
Qualche buona anima è in grado di dirmi se stavo facendo correttamente e in tal caso spiegarmi la continuazione della risoluzione dei 2 punti ?

[Light_1]

Hai iniziato bene , anche se non ho controllato i conti.

Cos' è che ti blocca ? Risolvi quell'eq.di secondo grado , ti troverai radici dipendenti dal parametro no?

Per esempio:

$ x^2+x+b=0 $

$ x^2+x+b=0 rArr x_+-=(-1+-sqrt(1-4b))/2 $

[nicola.cortese.7]

le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono :
$ X_1=-3-sqrt(4a+9) $ e $ X_2=-3+sqrt(4a+9) $
pooso quindi riscrivere P(X) = $ x*(x-(-3-sqrt(4a+9)))*(x-(-3+sqrt(4a+9)))=0 $ cioè
$ x*(x+3+sqrt(4a+9))*(x+3-sqrt(4a+9))=0 $
quindi so che il primo autovalore $ lambda _1=0 $ ma gli altri 2 autovalori cambiano in base al parametro a, e sarebbero $ lambda _2=-3-sqrt(4a+9) $ e $ lambda _3=-3+sqrt(4a+9) $ , quindi come faccio?

[Light_1]

Beh ora potresti verificare che la molteplicità geometrica di ogni autovalore sia pari a quella algebrica.

Potresti per esempio discutere per quali valore/i del parametro a si hanno 3 autovalori distinti, questa sarebbe già una condizione sufficiente per la diagonalizzabilità.