Esercizio di topologia sulle applicazioni continue
Ciao a tutti,
mi sono imbattuta nel seguente esercizio di topologia:
Sia \(I=[0,1]\) intervallo chiuso della retta euclidea \((\mathbb{R},\tau_{e})\), sia \(f:I\cup \{2\} \rightarrow I\) l'applicazione così definita: \(f(x)=\frac{x}{2}, \forall x\in I\cup \{2\}\). Dotati \(I\cup \{2\}\) e \(I\) di topologia euclidea indotta, verificare se \(f\) è continua.
Il libro dice che \(f\) risulta continua perché restrizione dell'applicazione \(F:(\mathbb{R},\tau_{e})\rightarrow(\mathbb{R},\tau_{e})\) tale che \(F(x)=\frac{x}{2}, \forall x\in\mathbb{R}\).
Ma a me questo discorso non torna, sia perché sul sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) su cui è ristretta il grafico della \(F\) ha un "buco" in corrispondenza di \(]1,2[\), sia perché se uso la definizione di funzione continua trovo che la \(f\) non la rispetta!
Infatti, \(f:X \rightarrow Y\) continua \(\Leftrightarrow \forall A\in\tau_{Y}, f^{-1}(A)\in\tau_{X}\).
Se considero come aperto nella topologia indotta da quella euclidea su \(I\) \(A=]1-\varepsilon,1]=]1-\varepsilon,1+\varepsilon[ \cap [0,1]\), risulta \(f^{-1}(A)=]2-2\varepsilon,2]\), che non appartiene alla topologia indotta da quella euclidea su \(I\cup \{2\}\) perché non riesco a scriverlo in nessun modo come intersezione di \(I\cup \{2\}\) con un aperto di \(\tau_{e}\)!
Dove sta il mio errore? Oppure è il libro che è stato impreciso?
mi sono imbattuta nel seguente esercizio di topologia:
Sia \(I=[0,1]\) intervallo chiuso della retta euclidea \((\mathbb{R},\tau_{e})\), sia \(f:I\cup \{2\} \rightarrow I\) l'applicazione così definita: \(f(x)=\frac{x}{2}, \forall x\in I\cup \{2\}\). Dotati \(I\cup \{2\}\) e \(I\) di topologia euclidea indotta, verificare se \(f\) è continua.
Il libro dice che \(f\) risulta continua perché restrizione dell'applicazione \(F:(\mathbb{R},\tau_{e})\rightarrow(\mathbb{R},\tau_{e})\) tale che \(F(x)=\frac{x}{2}, \forall x\in\mathbb{R}\).
Ma a me questo discorso non torna, sia perché sul sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) su cui è ristretta il grafico della \(F\) ha un "buco" in corrispondenza di \(]1,2[\), sia perché se uso la definizione di funzione continua trovo che la \(f\) non la rispetta!
Infatti, \(f:X \rightarrow Y\) continua \(\Leftrightarrow \forall A\in\tau_{Y}, f^{-1}(A)\in\tau_{X}\).
Se considero come aperto nella topologia indotta da quella euclidea su \(I\) \(A=]1-\varepsilon,1]=]1-\varepsilon,1+\varepsilon[ \cap [0,1]\), risulta \(f^{-1}(A)=]2-2\varepsilon,2]\), che non appartiene alla topologia indotta da quella euclidea su \(I\cup \{2\}\) perché non riesco a scriverlo in nessun modo come intersezione di \(I\cup \{2\}\) con un aperto di \(\tau_{e}\)!
Dove sta il mio errore? Oppure è il libro che è stato impreciso?
Risposte
"Kea":No! : )
...risulta \(f^{-1}(A)=]2-2\varepsilon,2]\)...
Ti suggerisco di fare il calcolo a mano, ti sarà molto utile!
Forse potrebbe esserti utile ragionare sul fatto che l'immagine della funzione è \([0,2^{-1}]\cup\{1\}\).
Quindi \(f^{-1}(A)=\{2\}\) perché i punti di \(]2-2\varepsilon,2[\) non stanno nel dominio della funzione, giusto? E \(\{2\}\) difatti è un aperto nella topologia indotta su \(I \cup \{2\}\).
Non ho considerato il dominio della funzione, un errore veramente imbarazzante!
Non ho considerato il dominio della funzione, un errore veramente imbarazzante!
Non preoccuparti, meglio qui che all'esame .
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Se hai capito questo errore, puoi risolvere da sola il tuo dubbio!
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