Esercizio di topologia sui sistemi di intorni
Ciao a tutti, ho un problema con un esercizio di topologia sui sistemi di intorni.
La consegna è la seguente:
Sia
\[\mathfrak{N}(x) =\begin{cases}
\{U\subseteq \mathbb{R} : U\supseteq \left]x-\delta,+\infty\right[ ,\hspace{3mm}\delta>0\} \hspace{12mm} x\in \mathbb{N} \\
\{U\subseteq \mathbb{R} : U\supseteq \left[x-\delta,x+\delta\right] ,\hspace{3mm}\delta>0\} \hspace{9mm} x\notin \mathbb{N}
\end{cases}\]
Verificare che \(\mathfrak{N}(x)\) è un sistema di intorni.
Devo verificare 4 proprietà:
a) \(\mathfrak{N}(x)\neq\emptyset\) e se \(N\in\mathfrak{N}(x) \Rightarrow x\in N\)
b) \(N_1,N_2 \in \mathfrak{N}(x) \Rightarrow N_1\cap N_2 \in\mathfrak{N}(x)\)
c) \(N\in\mathfrak{N}(x),\hspace{3mm} N\subset M \Rightarrow M\in\mathfrak{N}(x)\)
d) \(N\in\mathfrak{N}(x) \Rightarrow \exists M\in\mathfrak{N}(x) : M\subset N,\hspace{2mm} M\in\mathfrak{N}(y)\hspace{2mm}\forall y\in M\)
Per le prime 3 non ci sono problemi, e anche per la quarta nel caso in cui \(x\in\mathbb{N}\).
Se \(x\notin\mathbb{N},\hspace{2mm}N\supseteq \left[x-\delta,x+\delta\right]\) per qualche \(\delta>0\), dunque prendo \(M=\left[x-\delta,x+\delta\right]\) scegliendo \(\delta\) in modo che in \(\left[x-\delta,x+\delta\right]\) non cadano numeri naturali (altrimenti \(\exists y\in M : N\in\mathfrak{N}(y),\hspace{2mm} N\supseteq \left]x-\delta,+\infty\right[ \Rightarrow N\not\subset M \Rightarrow M\notin\mathfrak{N}(y)\)).
Se scelgo \(y\in\left]x-\delta,x+\delta\right[\) riesco a dimostrare la proprietà, ma se scelgo \(y=x\pm\delta\) non riesco a trovare \(\bar{\delta}>0\) tale che \(\left[y-\bar{\delta},y+\bar{\delta}\right]\subseteq M\)!
Avevo quindi pensato di prendere \(M\subset\left[x-\delta,x+\delta\right]\), ma, per come è definito un intorno contenente \(x\notin\mathbb{N}\), il problema agli estremi rimane.
Come si procede?
Grazie a chi mi risponderà!
La consegna è la seguente:
Sia
\[\mathfrak{N}(x) =\begin{cases}
\{U\subseteq \mathbb{R} : U\supseteq \left]x-\delta,+\infty\right[ ,\hspace{3mm}\delta>0\} \hspace{12mm} x\in \mathbb{N} \\
\{U\subseteq \mathbb{R} : U\supseteq \left[x-\delta,x+\delta\right] ,\hspace{3mm}\delta>0\} \hspace{9mm} x\notin \mathbb{N}
\end{cases}\]
Verificare che \(\mathfrak{N}(x)\) è un sistema di intorni.
Devo verificare 4 proprietà:
a) \(\mathfrak{N}(x)\neq\emptyset\) e se \(N\in\mathfrak{N}(x) \Rightarrow x\in N\)
b) \(N_1,N_2 \in \mathfrak{N}(x) \Rightarrow N_1\cap N_2 \in\mathfrak{N}(x)\)
c) \(N\in\mathfrak{N}(x),\hspace{3mm} N\subset M \Rightarrow M\in\mathfrak{N}(x)\)
d) \(N\in\mathfrak{N}(x) \Rightarrow \exists M\in\mathfrak{N}(x) : M\subset N,\hspace{2mm} M\in\mathfrak{N}(y)\hspace{2mm}\forall y\in M\)
Per le prime 3 non ci sono problemi, e anche per la quarta nel caso in cui \(x\in\mathbb{N}\).
Se \(x\notin\mathbb{N},\hspace{2mm}N\supseteq \left[x-\delta,x+\delta\right]\) per qualche \(\delta>0\), dunque prendo \(M=\left[x-\delta,x+\delta\right]\) scegliendo \(\delta\) in modo che in \(\left[x-\delta,x+\delta\right]\) non cadano numeri naturali (altrimenti \(\exists y\in M : N\in\mathfrak{N}(y),\hspace{2mm} N\supseteq \left]x-\delta,+\infty\right[ \Rightarrow N\not\subset M \Rightarrow M\notin\mathfrak{N}(y)\)).
Se scelgo \(y\in\left]x-\delta,x+\delta\right[\) riesco a dimostrare la proprietà, ma se scelgo \(y=x\pm\delta\) non riesco a trovare \(\bar{\delta}>0\) tale che \(\left[y-\bar{\delta},y+\bar{\delta}\right]\subseteq M\)!
Avevo quindi pensato di prendere \(M\subset\left[x-\delta,x+\delta\right]\), ma, per come è definito un intorno contenente \(x\notin\mathbb{N}\), il problema agli estremi rimane.
Come si procede?
Grazie a chi mi risponderà!
Risposte
Nessuno? 
Ho anche pensato di prendere \(\bar{\delta}=0\), ma perché questo abbia un senso deve essere che i punti siano degli aperti: questo accade \(\Leftrightarrow\) la topologia è quella discreta, ma non mi sembra il caso di questo esercizio!
Ho anche pensato di prendere \(\bar{\delta}=0\), ma perché questo abbia un senso deve essere che i punti siano degli aperti: questo accade \(\Leftrightarrow\) la topologia è quella discreta, ma non mi sembra il caso di questo esercizio!
Ho qualche dubbio sulle tue definizioni. \(\delta\) è fa intendersi fissato? O ti impone soltanto che contenga una palla chiusa centrata in quel punto. \(U\) è da intendersi insieme qualsiasi? Immagino di si.
Comunque supponendo \(\delta > 0\) sia qualsiasi puoi procedere così: per ipotesi \(N\) contiene un \(\displaystyle \overline{B}_{\delta}(x) \) (palla chiusa centrata in \(\displaystyle x \) di raggio \(\displaystyle \delta \)) per qualche \(\delta\). Sia quindi \(\displaystyle M = \overline{B}_{\delta}(x) \) e sia \(\displaystyle y \in M \). Allora si ha che \(\displaystyle \overline{B}_{\epsilon}(y)\subset M \) per una qualche \(\displaystyle \epsilon > 0 \) e quindi \(\displaystyle M\in \mathfrak{N}(y) \).
Comunque supponendo \(\delta > 0\) sia qualsiasi puoi procedere così: per ipotesi \(N\) contiene un \(\displaystyle \overline{B}_{\delta}(x) \) (palla chiusa centrata in \(\displaystyle x \) di raggio \(\displaystyle \delta \)) per qualche \(\delta\). Sia quindi \(\displaystyle M = \overline{B}_{\delta}(x) \) e sia \(\displaystyle y \in M \). Allora si ha che \(\displaystyle \overline{B}_{\epsilon}(y)\subset M \) per una qualche \(\displaystyle \epsilon > 0 \) e quindi \(\displaystyle M\in \mathfrak{N}(y) \).
No \(\delta\) non è fissato, deve solo essere scelto in modo che l'aperto stia nell'intorno. E su \(U\) non ho ulteriori informazioni, ho proprio copiato l'esercizio pari pari.
Comunque inizialmente anch'io avevo proceduto così, solo che per \(y=x\pm\delta\) (perché \(x\pm\delta \in M\) per come è definito \(M\) nel caso in cui \(x\notin\mathbb{N}\)) il discorso non regge perché per avere un intorno di \(y\) contenuto in M bisognerebbe prendere una palla di raggio \(\varepsilon=0\), ovvero considerare solo il singoletto \(\{y\}\).
Comunque inizialmente anch'io avevo proceduto così, solo che per \(y=x\pm\delta\) (perché \(x\pm\delta \in M\) per come è definito \(M\) nel caso in cui \(x\notin\mathbb{N}\)) il discorso non regge perché per avere un intorno di \(y\) contenuto in M bisognerebbe prendere una palla di raggio \(\varepsilon=0\), ovvero considerare solo il singoletto \(\{y\}\).
Hai ragione: gli elementi del bordo non sarebbero contenuti in palle chiuse di raggio positivo. Poco male, ti basta considerare una palla aperta invece che chiusa: le palle aperte ne contengono di chiuse intorno ad ogni loro punto.
Hai ragione, così torna tutto! Grazie! 
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