Esercizio di topologia algebrica
Proprio questa stamattina, dopo tanto studio 
, ho finalmente dato l'esame di geometria 3 (topologia generale ed algebrica) e prima di dedicarmi ad un altro esame per la sessione estiva, il prof vedendomi interessato mi ha detto di dare uno sguardo ad alcuni esercizi, che sono una sorta di applicazioni di alcuni teoremi che abbiamo dimostrato nel corso, come: Gruppo fondamentale della circonferenza e della superficie sferica n-dimensionale; ora leggendo qualcosa mi sono imbattuto in questo esercizio.
Trovare il gruppo fondamentale di $RR^3$ privato di una retta.
Sarà l'ora e sarà che dopo la giornata di oggi sono un pochino stanco non mi viene in mente nulla, anche perchè di solito il prof ci ha fatto sempre applicare i suddetti teoremi su strutture, tipo Cilindro ($S^(n-1) x RR)$, Toro, $RR^n-{x}$, che bene o male sono facili da gestire, ma adesso avendo lo spazio meno una retta mi trovo un attimo in difficoltà. Potete darmi qualche input?!
Grazie!
, ho finalmente dato l'esame di geometria 3 (topologia generale ed algebrica) e prima di dedicarmi ad un altro esame per la sessione estiva, il prof vedendomi interessato mi ha detto di dare uno sguardo ad alcuni esercizi, che sono una sorta di applicazioni di alcuni teoremi che abbiamo dimostrato nel corso, come: Gruppo fondamentale della circonferenza e della superficie sferica n-dimensionale; ora leggendo qualcosa mi sono imbattuto in questo esercizio.Trovare il gruppo fondamentale di $RR^3$ privato di una retta.
Sarà l'ora e sarà che dopo la giornata di oggi sono un pochino stanco non mi viene in mente nulla, anche perchè di solito il prof ci ha fatto sempre applicare i suddetti teoremi su strutture, tipo Cilindro ($S^(n-1) x RR)$, Toro, $RR^n-{x}$, che bene o male sono facili da gestire, ma adesso avendo lo spazio meno una retta mi trovo un attimo in difficoltà. Potete darmi qualche input?!
Grazie!
Risposte
Scusa ma... il piano privato di un punto non è un retratto di [tex]\mathbb R^3[/tex] privato di una retta (intendo, in inglese deformation retract, non so la traduzione italiana universalmente accettata)...
Mi sembra di sì; se è così, i gruppi fondamentali sono isomorfi! E sappiamo che il gruppo fondamentale di un piano senza un punto è [tex]\mathbb Z[/tex]...
Mi sembra di sì; se è così, i gruppi fondamentali sono isomorfi! E sappiamo che il gruppo fondamentale di un piano senza un punto è [tex]\mathbb Z[/tex]...
Uhm...
Il retratto di deformazione non lo abbiamo studiato, quindi se potresti spendere qualche parola in più sull'argomento te ne sarei grato.
Ti spiego, nel corso abbiamo studiato argomenti inerenti la topologia generale ed algebrica, ma non tutto. Ci hanno dato alcune nozioni di base (connessione, compattezza, con tutte le varie proprietà) per poi spostare l'attenzione sulla topologia naturale e sui vari assiomi di separazione ($T_0, T_1,T_2$, senza fare gli altri ecc...) e poi abbiamo studiato il concetto di omotopia libera e vincolata con le varie proprietà. Questo perchè ci sono altri corsì, anche alla specialistica dove si approfondisce meglio tutto. Quindi avevo pensato di affrontare il problema utilizzando solo gli strumenti a mia disposizione, però comunque affrontarlo anche in chiave diversa non mi dispiacerebbe!
Il retratto di deformazione non lo abbiamo studiato, quindi se potresti spendere qualche parola in più sull'argomento te ne sarei grato.
Ti spiego, nel corso abbiamo studiato argomenti inerenti la topologia generale ed algebrica, ma non tutto. Ci hanno dato alcune nozioni di base (connessione, compattezza, con tutte le varie proprietà) per poi spostare l'attenzione sulla topologia naturale e sui vari assiomi di separazione ($T_0, T_1,T_2$, senza fare gli altri ecc...) e poi abbiamo studiato il concetto di omotopia libera e vincolata con le varie proprietà. Questo perchè ci sono altri corsì, anche alla specialistica dove si approfondisce meglio tutto. Quindi avevo pensato di affrontare il problema utilizzando solo gli strumenti a mia disposizione, però comunque affrontarlo anche in chiave diversa non mi dispiacerebbe!
Oh, non preoccuparti. Io sto per dare geometria 4 ed è la prima volta che sento parlare "ufficialmente" del gruppo fondamentale. E dire che abbiamo dato più della definizione è esagerare.
Ti do le definizioni e ti enuncio i teoremi principali in questa direzione.
Definizione. Siano [tex]X, Y[/tex] spazi topologici, siano [tex]f_1, f_2 \colon X \to Y[/tex] due funzioni continue e sia [tex]A \subset X[/tex] un sottoinsieme tale che [tex]f_1(x) = f_2(x)[/tex] per ogni [tex]x \in A[/tex]. Diciamo che [tex]f_1[/tex] e [tex]f_2[/tex] sono omotope relativamente a [tex]A[/tex] se esiste una applicazione continua [tex]F \colon X \times [0,1] \to Y[/tex] tale che:
Ti do le definizioni e ti enuncio i teoremi principali in questa direzione.
Definizione. Siano [tex]X, Y[/tex] spazi topologici, siano [tex]f_1, f_2 \colon X \to Y[/tex] due funzioni continue e sia [tex]A \subset X[/tex] un sottoinsieme tale che [tex]f_1(x) = f_2(x)[/tex] per ogni [tex]x \in A[/tex]. Diciamo che [tex]f_1[/tex] e [tex]f_2[/tex] sono omotope relativamente a [tex]A[/tex] se esiste una applicazione continua [tex]F \colon X \times [0,1] \to Y[/tex] tale che:
1) [tex]F(x,0) = f_1(x) \quad \forall x \in X[/tex];
2) [tex]F(x,1) = f_2(x) \quad \forall x \in X[/tex];
3) [tex]F(x,t) = f_1(x) = f_2(x) \quad \forall x \in A, \: \forall t \in I = [0,1][/tex].
[/list:u:ek225aqx]
Definizione. Sia [tex]X[/tex] uno spazio topologico e sia [tex]A \subset X[/tex] un suo sottospazio. Una retrazione di [tex]X[/tex] su [tex]A[/tex] è un'applicazione continua [tex]r \colon X \to A[/tex] tale che [tex]r(a) = a[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex]. In tal caso diciamo che [tex]A[/tex] è un retratto di [tex]X[/tex].
Proposizione. Sia [tex]X[/tex] uno spazio topologico e sia [tex]A[/tex] un suo retratto. Allora l'inclusione [tex]j \colon A \to X[/tex] induce un omomorfismo iniettivo di gruppi fondamentali.
Definizione. Sia [tex]X[/tex] uno spazio topologico e sia [tex]A \subset X[/tex] un suo sottospazio. Diciamo che [tex]A[/tex] è un retratto di deformazione di [tex]X[/tex] se la mappa identità [tex]\text{id}_X \colon X \to X[/tex] è omotopa relativamente ad [tex]A[/tex] ad una retrazione di [tex]X[/tex] su [tex]A[/tex]. In altre parole [tex]A[/tex] è un retratto di deformazione di [tex]X[/tex] se esiste una retrazione [tex]r \colon X \to A[/tex] che sia omotopa all'identità in modo che ogni punto di [tex]A[/tex] rimanga fissato durante l'omotopia.
Teorema. Sia [tex]X[/tex] uno spazio topologico e sia [tex]A[/tex] un suo retratto di deformazione. L'inclusione [tex]j \colon A \to X[/tex] induce un isomorfismo di gruppi fondamentali.
La dimostrazione non sarebbe nemmeno difficile... anzi, quella della prima proposizione è demenziale e ti invito a provare a farla!
Per quanto riguarda il nostro caso, a meno di un'affinità possiamo assumere che la nostra retta sia l'asse [tex]z[/tex]. Definiamo [tex]F : \mathbb R^3 \setminus \{(0,0,t)\} \to \pi_{x,y} = \{(x,y,0), x,y \in \mathbb R\}[/tex] ponendo [tex]F(\mathbf x, t) = \mathbf x - t \pi_z(\mathbf x)[/tex]. Esplicitamente, se [tex]\mathbf x = (x,y,z)[/tex] allora [tex]F(\mathbf x, t) = (x,y,z) - t (0,0,z)[/tex]. Se controlli, questo è proprio un retratto di deformazione...
Poi magari c'è un modo di risolvere l'esercizio "con le mani", però questo è il modo più rapido (nonché l'unico) che mi è venuto in mente...
Ma [tex]$F$[/tex] non dovrebbe essere continua, come di solito è richiesto alle funzioni in topologia? 
Ti ringrazio....darò uno sguardo domani alla tua spiegazione, in modo da avere la mente più lucida. Ti faccio sapere comunque, anche perchè se il prof lo ha dato come applicazione del teorema in cui si mostrava che $\pi_1(S^1) \cong \mathbb ZZ$, senza dare nessuna definizione di retratto un motivo ci sarà.
Ma è sempre una buona occasione imparare qualcosa di nuovo, anche perchè, come vanno oggi giorno le cose chissà se lo studierò un giorno questo famoso retratto
Ma è sempre una buona occasione imparare qualcosa di nuovo, anche perchè, come vanno oggi giorno le cose chissà se lo studierò un giorno questo famoso retratto
I retratti di deformazione sono un caso particolare di spazi omotopicamente equivalenti.
Se vuoi evitarli puoi cercare di dimostrare direttamente che il lo spazio privato di una retta è omotopicamente
equivalente al piano meno un punto - per questo, se chiami $X$ il primo e $Y$ il secondo, ti servono due applicazioni
$f:X\to Y$ e $g:Y\to X$ tali che $f\circ g$ sia omotopa all'identità su $Y$ e $g\circ f$ sia omotopa all'identità su $X$.
Ti metto in spoiler gli ingredienti.
Poi se vuoi puoi anche dimostrare che il piano privato di un punto è omotopicamente equivalente alla circonferenza.
EDIT Mi sono accorto che - di fatto - ho ripetuto quanto già detto da maurer. Sorry.
Se vuoi evitarli puoi cercare di dimostrare direttamente che il lo spazio privato di una retta è omotopicamente
equivalente al piano meno un punto - per questo, se chiami $X$ il primo e $Y$ il secondo, ti servono due applicazioni
$f:X\to Y$ e $g:Y\to X$ tali che $f\circ g$ sia omotopa all'identità su $Y$ e $g\circ f$ sia omotopa all'identità su $X$.
Ti metto in spoiler gli ingredienti.
Poi se vuoi puoi anche dimostrare che il piano privato di un punto è omotopicamente equivalente alla circonferenza.
EDIT Mi sono accorto che - di fatto - ho ripetuto quanto già detto da maurer. Sorry.
Riguardo un pò più con calma le definizioni postate da maurer ieri sera, e dando uno sguardo anche al libro, mi sono reso conto anche io del fatto che il retratto ha proprio qualche attinenza con l'equivalenza omotopica, quindi con gli spazi omotopicamente equivalenti, quindi sostanzialmente nulla di nuovo. La difficoltà quindi è solo poter costruire questa applicazione che li renda omotopi, usando proprio la definizione. Davvero una bella idea. E' un chiaro esempio di quanto sia diversa la pratica dalla teoria e di quanto sia macchinoso, alcune volte, il dover studiare montagne di definizioni senza farne una vera e propria applicazione pratica. Vi ringrazio per gli utili consigli!
@ j18eos: Chiaramente, la [tex]F[/tex] deve essere continua! Mia dimenticanza...
@Lorin
Alcuni commenti:
1) dalla poca esperienza che ho, nella pratica si deve cercare la funzione\le funzioni che permettano di utilizzare la omotopia, almeno che non si abbia a disposizione l'omeomorfia;
2) la pratica è la verifica della teoria!
Alcuni commenti:
1) dalla poca esperienza che ho, nella pratica si deve cercare la funzione\le funzioni che permettano di utilizzare la omotopia, almeno che non si abbia a disposizione l'omeomorfia;
2) la pratica è la verifica della teoria!
Sono un po' arrugginito con queste cose (sono anni che non le ripasso) comunque penso che il metodo sia.
Prendi un punto sulla retta e il piano perpendicolare alla retta in quel punto. Dimostri che ogni cammino in $RR^3$ privato della retta è omotopo ad un cammino sul piano (privato di un punto). Dopo di che dimostri che ogni cammino di quel tipo è omotopo ad un cammino sulla circonferenza unitaria che giace su quel piano e centrata nel punto scelto. Alla fine quindi usi il teorema da te citato.
Le funzioni continue considerate non sono difficili da definire direttamente.
Prendi un punto sulla retta e il piano perpendicolare alla retta in quel punto. Dimostri che ogni cammino in $RR^3$ privato della retta è omotopo ad un cammino sul piano (privato di un punto). Dopo di che dimostri che ogni cammino di quel tipo è omotopo ad un cammino sulla circonferenza unitaria che giace su quel piano e centrata nel punto scelto. Alla fine quindi usi il teorema da te citato.
Le funzioni continue considerate non sono difficili da definire direttamente.
Ogni elemento del gruppo fondamentale di uno spazio topologico non è altro che un insieme di curve chiuse omotope tra di loro e tutte passanti per il punto base. Ignorando quindi per ora la struttura di gruppo, si può quindi arrivare ad avere un'idea di quale sia gruppo fondamentale rispondendo semplicemente alla domanda: “Quando una curva chiusa in questo spazio NON è omotopa ad una altra?” Se prendiamo [tex]\mathbb R^3[/tex] e lo priviamo di una retta vediamo subito che la risposta a quella domanda è “quando il numero di volte che le curve girano intorno alla retta è diversa”. È infatti impossibile prendere una curva chiusa e trasformarla in modo continuo fino a farle fare un giro aggiuntivo intorno alla retta o al contrario eliminare uno dei giri intorno alla retta. È invece sempre possibile (è abbastanza facile vederlo in modo intuitivo) prendere due curve chiuse che fanno lo stesso numero di giri intorno alla retta e trasformarle in modo continuo una nell'altra. Senza fare quindi un conto siamo già arrivati alla conclusione che il gruppo fondamentale deve essere [tex]\mathbb Z[/tex] come quello della circonferenza. Io credo che la topologia algebrica possa essere molto intuitiva a volte (anche se a volte l'intuizione inganna.. ma non è certamente questo il caso).
Un metodo molto semplice per dimostrarlo è quello di vedere lo spazio privato di una retta come il prodotto cartesiano del piano privato di un punto e la retta, riducendoti quindi al solo studio del gruppo fondamentale del piano privato di un punto che, leggendo il tuo primo post, sembri aver già studiato. In realtà ho sempre studiato anche questo caso costruendo una omotopia dal piano senza l'origine e la circonferenza unitaria, come si potrebbe fare anche nel caso dello spazio privato di una retta (usando praticamente la stessa omotopia).
ma non è certamente questo il caso).Un metodo molto semplice per dimostrarlo è quello di vedere lo spazio privato di una retta come il prodotto cartesiano del piano privato di un punto e la retta, riducendoti quindi al solo studio del gruppo fondamentale del piano privato di un punto che, leggendo il tuo primo post, sembri aver già studiato. In realtà ho sempre studiato anche questo caso costruendo una omotopia dal piano senza l'origine e la circonferenza unitaria, come si potrebbe fare anche nel caso dello spazio privato di una retta (usando praticamente la stessa omotopia).
"Lorin":
Ti ringrazio....darò uno sguardo domani alla tua spiegazione, in modo da avere la mente più lucida. Ti faccio sapere comunque, anche perchè se il prof lo ha dato come applicazione del teorema in cui si mostrava che $\pi_1(S^1) \cong \mathbb ZZ$, senza dare nessuna definizione di retratto un motivo ci sarà.
Ma è sempre una buona occasione imparare qualcosa di nuovo, anche perchè, come vanno oggi giorno le cose chissà se lo studierò un giorno questo famoso retratto
Se l'ha dato subito dopo la dimostrazione di quel teorema, allora forse vuole una dimostrazione simile basata sui rivestimenti. Ti invito a prendere in considerazione la mappa complessa [tex]z \mapsto e^z[/tex] che va da [tex]\mathbb C \cong \mathbb R^2[/tex] a [tex]\mathbb C^* \cong \mathbb R^2 - \{ 0 \}[/tex]. Che relazione c'è tra questa mappa e la mappa [tex]x \mapsto e^{ix}[/tex] che hai usato nella dimostrazione sopra citata? Puoi forse usarla per dire qualcosa sullo spazio senza una retta (vedi anche post precedente)?
Se è basata sui rivestimenti, allora non posso seguire il tuo ragionamento perchè nel corso non li abbiamo proprio usati (oppure a questo punto mi viene da pensare di averli usati ma non in questo termine xD). Comunque vi ringrazio ancora per gli interventi e appena avrò un attimo di tempo mi soffermerò con più attenzione (purtroppo gli esami non finiscono mai, e il tempo per dedicarsi a queste cose è sempre molto poco)
Con, “basata sui rivestimenti” intendevo dire che dovevi “copiare la dimostrazione nel caso della circonferenza”. Mi limito al caso del piano senza un punto, essendo possibile rifarsi facilmente a questo, e lo identifico con il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi invertibili [tex]\mathbb C^*[/tex].
L'esponenziale complesso [tex]\exp(z) = \exp(x + i 2 \pi y) = e^z = e^{x + i 2 \pi y} = e^x e^{i 2 \pi y}[/tex] è un omomorfismo di gruppi topologici ([tex]\mathbb C[/tex] visto come gruppo additivo), è cioè un omomorfismo di gruppi ed è continuo. Inoltre, come è facile osservare, è aperto e [tex]\mathbb R \times (-\frac 12, \frac 12)[/tex] è quindi omeomorfo (attraverso l'esponenziale) alla sua immagine [tex]\mathbb C^* - \mathbb R^-[/tex]. Sia [tex]\psi[/tex] l'inverso dell'esponenziale quando ristretto a questo insieme. Abbiamo bisogno di due lemmi.
Lemma 1. Se [tex]\sigma[/tex] è un cammino in [tex]\mathbb C^*[/tex] che parte da [tex]1[/tex], esiste un unico cammino [tex]\sigma'[/tex] in [tex]\mathbb C[/tex] che inizia da [tex]0[/tex] tale che [tex]\exp \circ \, \sigma' = \sigma[/tex].
Lemma 2. Se [tex]\tau[/tex] è un'altro cammino in [tex]\mathbb C^*[/tex] che parte da [tex]1[/tex] tale che [tex]F : \sigma \sim \tau[/tex] (rel. [tex](0, 1)[/tex]), allora esiste una unica [tex]F' : \sigma' \sim \tau'[/tex] tale che [tex]\exp \circ \, F' = F[/tex].
La dimostrazione di questi due lemmi non è difficile e ripercorre quelle dei lemmi analoghi usati nella dimostrazione del gruppo fondamentale della circonferenza e, più in generale per i rivestimenti. Come corollario di questi lemmi abbiamo che il punto di arrivo di [tex]\sigma'[/tex] dipende solo dalla classe di omotopia di [tex]\sigma[/tex], per cui possiamo costruire una mappa [tex]\varphi : \pi_1(\mathbb C^*) \to \mathbb Z[/tex] data da [tex]\varphi [\sigma] = \sigma'(1)[/tex] (ho identificato [tex]\exp^{-1}(1)[/tex] con [tex]\mathbb Z[/tex] attraverso [tex]n \mapsto 1 + i 2 \pi n[/tex]). Si tratta di un omomorfismo ed è inoltre sia suriettivo (l'immagine della classe di omotopia di un qualsiasi cappio che gira [tex]n[/tex] volte intorno all'origine finirà in [tex]n[/tex]) e iniettiva perché [tex]\mathbb C[/tex] è contraibile e quindi qualsiasi cappio è omotopo al cappio costante. Abbiamo allora l'isomorfismo che cercavamo.
Ma questo metodo non è senza dubbio il più comodo e probabilmente non desiderava che seguiste questa strada. Esiste infatti la strada già consigliata da maurer che è meno complicata e lunga. Si può poi fare ancora l'osservazione che ci riduce al piano senza un punto e mostrare che è omeomorfo ad un cilindro utilizzando la mappa [tex]Re^{i\theta} \mapsto (\cos \theta, \sin \theta, \log R)[/tex] che ci permette di arrivare direttamente al risultato.
L'esponenziale complesso [tex]\exp(z) = \exp(x + i 2 \pi y) = e^z = e^{x + i 2 \pi y} = e^x e^{i 2 \pi y}[/tex] è un omomorfismo di gruppi topologici ([tex]\mathbb C[/tex] visto come gruppo additivo), è cioè un omomorfismo di gruppi ed è continuo. Inoltre, come è facile osservare, è aperto e [tex]\mathbb R \times (-\frac 12, \frac 12)[/tex] è quindi omeomorfo (attraverso l'esponenziale) alla sua immagine [tex]\mathbb C^* - \mathbb R^-[/tex]. Sia [tex]\psi[/tex] l'inverso dell'esponenziale quando ristretto a questo insieme. Abbiamo bisogno di due lemmi.
Lemma 1. Se [tex]\sigma[/tex] è un cammino in [tex]\mathbb C^*[/tex] che parte da [tex]1[/tex], esiste un unico cammino [tex]\sigma'[/tex] in [tex]\mathbb C[/tex] che inizia da [tex]0[/tex] tale che [tex]\exp \circ \, \sigma' = \sigma[/tex].
Lemma 2. Se [tex]\tau[/tex] è un'altro cammino in [tex]\mathbb C^*[/tex] che parte da [tex]1[/tex] tale che [tex]F : \sigma \sim \tau[/tex] (rel. [tex](0, 1)[/tex]), allora esiste una unica [tex]F' : \sigma' \sim \tau'[/tex] tale che [tex]\exp \circ \, F' = F[/tex].
La dimostrazione di questi due lemmi non è difficile e ripercorre quelle dei lemmi analoghi usati nella dimostrazione del gruppo fondamentale della circonferenza e, più in generale per i rivestimenti. Come corollario di questi lemmi abbiamo che il punto di arrivo di [tex]\sigma'[/tex] dipende solo dalla classe di omotopia di [tex]\sigma[/tex], per cui possiamo costruire una mappa [tex]\varphi : \pi_1(\mathbb C^*) \to \mathbb Z[/tex] data da [tex]\varphi [\sigma] = \sigma'(1)[/tex] (ho identificato [tex]\exp^{-1}(1)[/tex] con [tex]\mathbb Z[/tex] attraverso [tex]n \mapsto 1 + i 2 \pi n[/tex]). Si tratta di un omomorfismo ed è inoltre sia suriettivo (l'immagine della classe di omotopia di un qualsiasi cappio che gira [tex]n[/tex] volte intorno all'origine finirà in [tex]n[/tex]) e iniettiva perché [tex]\mathbb C[/tex] è contraibile e quindi qualsiasi cappio è omotopo al cappio costante. Abbiamo allora l'isomorfismo che cercavamo.
Ma questo metodo non è senza dubbio il più comodo e probabilmente non desiderava che seguiste questa strada. Esiste infatti la strada già consigliata da maurer che è meno complicata e lunga. Si può poi fare ancora l'osservazione che ci riduce al piano senza un punto e mostrare che è omeomorfo ad un cilindro utilizzando la mappa [tex]Re^{i\theta} \mapsto (\cos \theta, \sin \theta, \log R)[/tex] che ci permette di arrivare direttamente al risultato.
GEOMETRIA 3?
"apatriarca":
Con, “basata sui rivestimenti” intendevo dire che dovevi “copiare la dimostrazione nel caso della circonferenza”. Mi limito al caso del piano senza un punto, essendo possibile rifarsi facilmente a questo, e lo identifico con il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi invertibili [tex]\mathbb C^*[/tex].
L'esponenziale complesso [tex]\exp(z) = \exp(x + i 2 \pi y) = e^z = e^{x + i 2 \pi y} = e^x e^{i 2 \pi y}[/tex] è un omomorfismo di gruppi topologici ([tex]\mathbb C[/tex] visto come gruppo additivo), è cioè un omomorfismo di gruppi ed è continuo. Inoltre, come è facile osservare, è aperto e [tex]\mathbb R \times (-\frac 12, \frac 12)[/tex] è quindi omeomorfo (attraverso l'esponenziale) alla sua immagine [tex]\mathbb C^* - \mathbb R^-[/tex]. Sia [tex]\psi[/tex] l'inverso dell'esponenziale quando ristretto a questo insieme. Abbiamo bisogno di due lemmi.
Lemma 1. Se [tex]\sigma[/tex] è un cammino in [tex]\mathbb C^*[/tex] che parte da [tex]1[/tex], esiste un unico cammino [tex]\sigma'[/tex] in [tex]\mathbb C[/tex] che inizia da [tex]0[/tex] tale che [tex]\exp \circ \, \sigma' = \sigma[/tex].
Lemma 2. Se [tex]\tau[/tex] è un'altro cammino in [tex]\mathbb C^*[/tex] che parte da [tex]1[/tex] tale che [tex]F : \sigma \sim \tau[/tex] (rel. [tex](0, 1)[/tex]), allora esiste una unica [tex]F' : \sigma' \sim \tau'[/tex] tale che [tex]\exp \circ \, F' = F[/tex].
La dimostrazione di questi due lemmi non è difficile e ripercorre quelle dei lemmi analoghi usati nella dimostrazione del gruppo fondamentale della circonferenza e, più in generale per i rivestimenti. Come corollario di questi lemmi abbiamo che il punto di arrivo di [tex]\sigma'[/tex] dipende solo dalla classe di omotopia di [tex]\sigma[/tex], per cui possiamo costruire una mappa [tex]\varphi : \pi_1(\mathbb C^*) \to \mathbb Z[/tex] data da [tex]\varphi [\sigma] = \sigma'(1)[/tex] (ho identificato [tex]\exp^{-1}(1)[/tex] con [tex]\mathbb Z[/tex] attraverso [tex]n \mapsto 1 + i 2 \pi n[/tex]). Si tratta di un omomorfismo ed è inoltre sia suriettivo (l'immagine della classe di omotopia di un qualsiasi cappio che gira [tex]n[/tex] volte intorno all'origine finirà in [tex]n[/tex]) e iniettiva perché [tex]\mathbb C[/tex] è contraibile e quindi qualsiasi cappio è omotopo al cappio costante. Abbiamo allora l'isomorfismo che cercavamo.
Ma questo metodo non è senza dubbio il più comodo e probabilmente non desiderava che seguiste questa strada. Esiste infatti la strada già consigliata da maurer che è meno complicata e lunga. Si può poi fare ancora l'osservazione che ci riduce al piano senza un punto e mostrare che è omeomorfo ad un cilindro utilizzando la mappa [tex]Re^{i\theta} \mapsto (\cos \theta, \sin \theta, \log R)[/tex] che ci permette di arrivare direttamente al risultato.
Ti volevo chiedere una cosa: ma i due lemmi che hai inserito all'inizio corrispondono al Lemma di sollevamento di archi, e al Lemma di sollevamento di omotopie?! Comunque è interessante questo approccio perchè richiama, come giustamente fai notare, la dimostrazione che il gruppo fondamentale della circonferenza è $ZZ$, ma non avendo studiato ancora l'esponenziale complesso, secondo me come approccio è meglio quello di maurer perchè si avvicina un pochino di più a quello che ho studiato. Ciò non toglie che anche il tuo contributo è interessante.
@Biggest: Si
Sì, i due lemmi corrispondono esattamente ai lemmi che hai citato ed è possibile generalizzare molto i risultati quando si studiano i rivestimenti (questi sono casi particolari di rivestimenti). Ti invito anche a rileggere le ultime righe che ho scritto e in particolare la dimostrazione che utilizza forse le teorie più elementari, cioè:
1. Per il teorema sul gruppo fondamentale del prodotto, [tex]\pi_1(\mathbb R^3 - \mathbb R\boldsymbol{e_3}) = \pi_1((\mathbb R^2 - \boldsymbol{0}) \times \mathbb R) = \pi_1(\mathbb R^2 - \boldsymbol{0}) \times \pi_1(\mathbb R)[/tex]. [tex]\mathbb R[/tex] è contraibile per cui [tex]\pi_1(\mathbb R^3 - \mathbb R\boldsymbol{e_3}) = \pi_1(\mathbb R^2 - \boldsymbol{0})[/tex].
2. Preso un qualsiasi punto in coordinate polari [tex](R, \theta)[/tex] possiamo metterlo in corrispondenza biunivoca e bicontinua con [tex](\cos \theta, \sin \theta, \log R)[/tex] sul cilindro, i due spazi sono cioè omeomorfi per cui [tex]\pi_1(\mathbb R^2 - \boldsymbol{0}) = \pi_1(S^1 \times \mathbb R) = \pi_1(S^1)[/tex].
In pratica è comunque quello che si fa nel metodo di maurer, ma senza usare la teoria sulle equivalenze omotopiche tra spazi topologici e i retratti di deformazione.
1. Per il teorema sul gruppo fondamentale del prodotto, [tex]\pi_1(\mathbb R^3 - \mathbb R\boldsymbol{e_3}) = \pi_1((\mathbb R^2 - \boldsymbol{0}) \times \mathbb R) = \pi_1(\mathbb R^2 - \boldsymbol{0}) \times \pi_1(\mathbb R)[/tex]. [tex]\mathbb R[/tex] è contraibile per cui [tex]\pi_1(\mathbb R^3 - \mathbb R\boldsymbol{e_3}) = \pi_1(\mathbb R^2 - \boldsymbol{0})[/tex].
2. Preso un qualsiasi punto in coordinate polari [tex](R, \theta)[/tex] possiamo metterlo in corrispondenza biunivoca e bicontinua con [tex](\cos \theta, \sin \theta, \log R)[/tex] sul cilindro, i due spazi sono cioè omeomorfi per cui [tex]\pi_1(\mathbb R^2 - \boldsymbol{0}) = \pi_1(S^1 \times \mathbb R) = \pi_1(S^1)[/tex].
In pratica è comunque quello che si fa nel metodo di maurer, ma senza usare la teoria sulle equivalenze omotopiche tra spazi topologici e i retratti di deformazione.
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