Esercizio di topologia
Devo dire se i seguenti insiemi sono connessi e trovare il gruppo fondamentale:
$RR^3-${punto} conesso con grupppo fondamentale banale
$RR^3-${retta} connesso con gruppo fondamentale $ZZ$
$RR^3-${piano} sconesso con gruppo fondamentale formato da due punti
P.s
il primo caso come giustifico che è banale?
$RR^3-${punto} conesso con grupppo fondamentale banale
$RR^3-${retta} connesso con gruppo fondamentale $ZZ$
$RR^3-${piano} sconesso con gruppo fondamentale formato da due punti
P.s
il primo caso come giustifico che è banale?
Risposte
Il primo insieme è omotopicamente equivalente a $S^2$ quindi se hai la dimostrazione che il gruppo fondamentale di $S^2$ è banale sei a posto.
In generale abbiamo $S^n-{p}$ omeomorfo a $RR^n$ e $S^n$ omotopo a $RR^(n+1)-{p}$
P.s
Colgo l'occasione per chiederi una cretinata, dire gruppo fondamentale banale o dire omotopo a un punto è la stessa cosa?
P.s
Colgo l'occasione per chiederi una cretinata, dire gruppo fondamentale banale o dire omotopo a un punto è la stessa cosa?
no... La sfera ha gruppo fondamentale banale ma non è uno spazio semplicemente connesso...
Guarda che tii sbagli $S^2$ è semplicemente connessa, perchè ha gruppo fondamentale banale ed è connessa per archi. Forse volevi dire che è semplicemente connessa ma non contraibile? 
Sì è vero, per un insieme connesso gruppo fondamentale banale e semplicemente connesso sono equivalenti.
Grazie;) Scusa posso chiederti una cosa riferita ad un altro topic?
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