Esercizio di topologia

[squalllionheart]

Vorrei sapere se funziona il ragionamento. Sia X lo spazio topologico formato da in numeri interi con topologia cofinita. Dire se X è discreto e /o conesso.
X non è discreto perchè, gli spazi discreti hanno come aperto ogni suo punto. Nel nostro caso gli aperti di X sono complementari di insiemi finiti dunque mancano in X tutti gli aperti formati da un numero finito di punti. Mentre la seconda è vera perchè non è unione di aperti non vuoti disgiuti. Questo si può vedere prendendo due aperti di X diversi dal vuoto ad esempio $A=ZZ-{z_1}$ e $B=ZZ-{z_1}$. L'unione è tutto $ZZ$.

[dissonance]

La seconda mi pare vera ma credo tu la debba dimostrare un po' meglio. Hai preso due aperti del tutto arbitrari e hai dimostrato che non formano una separazione di $X$. Ma questo va verificato per ogni coppia di aperti non vuoti, non solo per quei due. Sempre se capisco quello che intendi.

[squalllionheart]

Hai ragione. Comunque prendo due aperti saranno formati da un numero infinito di punti. Dunque l'intersezione è vuota.

[apatriarca]

Per il secondo punto è sufficiente notare che non esistono coppie di aperti $A_1$ e $A_2$ diversi dall'insieme vuoto e tutto $ZZ$ che siano disgiunti. Infatti, ogni aperto è formato da tutto $ZZ$ meno un numero finito di punti, che indico con $X_1$ e $X_2$. Quindi:
$A_1 nn A_2 = (ZZ - X_1) nn (ZZ - X_2) = ZZ - X_1 uu X_2$ che è sempre un insieme non vuoto perché $X_1 uu X_2$ è finito.