[Esercizio di Geometria I] Diagonalizzabilità di una matrice

[cirasa]

Buonasera ragazzi!
Mentre leggevo questo thread mi è venuto in mente questo problemino.
Secondo me, non è troppo difficile. Se qualcuno ha voglia di provarci, ne sarei ben lieto.
Credo che si possa risolvere in almeno due modi diversi.

Esercizio: Si consideri la matrice $B_n=((1,1,...,1),(1,1,...,1),(...,...,...,...),(1,1,...,1))$ quadrata di ordine $n$ i cui elementi sono tutti $1$.
La matrice $B_n$ è a coefficienti in un campo $K$ (tale che $n$ non divide $char(K)$*).
1) Dire se $B_n$ è diagonalizzabile e, se sì, fornire una base diagonalizzante.
2) Qual è il polinomio caratteristico di $B_n$?


Naturalmente se qualcuno ha voglia di cimentarsi pubblichi la sua soluzione in spoiler.
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* Chi non sa cos'è la caratteristica di un campo può prendere $K=RR$.

[ansioso]

Analizzando la matrice ha rango 1 e non è ne simmetrica ne antisimmetrica
la sua riduzione a scala equivale a $((1, 1, ..., 1),(0, 0, ...,0),(..., ..., ..., ...),(0, 0, ...,0))$
considerando il polinomio minimo mi vien da dire che $(1-\lambda)$ è l'unico autovalore possibile!
il polinomio caratteristo è dato da $(1-\lambda)^n+ 1(n-1)-(n-1)(1-\lambda))$!

Sul fatto che sia diagonalizzabile ho qualche dubbio... non mi risulta simile a una matrice diagonale, e il fatto che ha un unico autovalore mi fa pensare che non avendo autovalori distinti in modo tale che la m.a=m.g mi fa dire "No non è diagonalizzabile"

se ho errato non mi pestare a sangue perfavore

[cirasa]

Pestarti a sangue? No, non mi sporco le mani.
Mi limito ad una botta in testa

Non è simmetrica?
Più simmetrica di così! Questo già ti dovrebbe dire qualcosa sulla diagonalizzabilità di $B_n$...

E purtroppo il polinomio minimo non è $(1-lambda)$.
Da cosa hai intuito che c'è un unico autovalore? Non capisco il ragionamento che c'è dietro...
E dovresti anche spiegare da dove prendi quell'espressione del polinomio caratteristico.

No, mi spiace...ritenta sarai più fortunato!

[ansioso]

si hair agione... pazzia dell'ultim ora! Sono abbastanza fuso eh? XD

[mistake89]

Simpatico

Ci ho provato, ma non sono ancora riuscito a formalizzare.
Io credo che il polinomio caratteristico sia $lambda^n-nlambda^(n-1)=0$.

Ciò vuol dire anche che $lambda=0$ ha molteplicità $n-1$, da cui le colonne della matrice diagonalizzante, saranno composte da $n-1$ vettori che generano una base del $ker$. Mentre l'altro autovalore è $lambda=n$.
Pertanto una matrice diagonale avrà sulla diagonale tutti $0$, tranne nel posto $a_(n,n)$ dove c'è proprio $n$.

I vettori che generano il $ker$ dovrebbero essere tutti della forma $x_1+...+x_n=0$ da cui estrarre le $n-1$ colonne della matrice diagonalizzante, mentre l'altra colonna dovrebbe essere $x_1=x_2=...=x_n$

Purtroppo dato il poco tempo a disposizione non ho formalizzato per bene il tutto, anche perchè non so se è sbagliato Non ho nemmeno fatto molti calcoli per verificare se è giusto, chissà

A te la parola cirasa

[cirasa]

@ Mistake89:

Tutto ok. Una volta noti gli autovalori è facilissimo determinare tutto.
Un'altra strada che si può seguire è quella dell'induzione.
Prova a scrivere il polinomio caratteristico di $B_n$ in funzione di $B_{n-1}$ in modo da verificare per induzione che il polinomio caratteristico è proprio quello.

All'inizio mi aspettavo fosse più difficile e invece era facile...

[mistake89]

Grazie Cirasa e perdonami se ti rispondo ora ma sono stato impegnatissimo con gli esami.

Meno male che è giusto; avevo immaginato che si potesse dimostrare anche per induzione, però a me piace sempre poco, quindi se posso preferisco una dimostrazione diretta!