Esercizio di geometria euclidea (aiuto!!)

[celeste4]

Non riesco a capire dove sta l'errore...

Esercizio:in $A_3(RR)$ sono assegnate le due rette
$r...{(x=t), (y=t), (z=t):}

ed $s...{(x+y-2=0), (z=0):}

a) dimostrare che sono sghembe

Dopo aver scritto $r$ in equazioni cartesiane, ho calcolato $det((1,0,-1,0), (1,-1,0,0), (1,1,0,2), (0,0,1,0))=2
e da ciò si vede che non possono che essere sghembe

b)calcolare il segmento di minima distanza (ok, fatto senza problemi)

c)Trovare l'unica retta ortogonale incidente le due rette (e qui credo di essermi complicata la vita a gratis..)
Come prima cosa ho posto le condizioni di ortogonalità tra la la nuova retta $q$ e le due rette, cioè

$q...{(x=lm+x_0), (y=mt+y_0), (z=nt+z_0):}

${(l+m+n=0), (l-m=0):}
allora prendo ${(l=1), (m=1), (n=2):}

ottengo quindi

$q...{(x=t+x_0), (y=t+y_0), (z=2t+z_0):}

dopodiché quel che ho fatto è stato scrivere le cartesiane di q, imporre il determinante dei coefficienti di $r$ e quelli di $q$ uguale a zero, fare lo stesso per $s$ e $q$ e mettere a sistema le due equazioni.

Il risultato che mi è venuto è: $q...{(x=t+1), (y=t+1), (z=2t+3):}

Ma verificando ho scoperto che non interseca s!!!

[rubik2]

le equazioni cartesiane di r sono:${(x=y),(y=z):}$

intersecando con s otteniamo



${(x+y=2),(x=y=z):}->x=y=z=1$ e ${(z=0),(x=y=z):}->x=y=z=0$

questo dimostra che non si intersecano, ora bisogna mostrare che non sono parallele. r è parallela al vettore (1,1,1) mentre s è parallela al vettore (1,-1,0).

sinceramente non so cosa hai fatto con la matrice.

per il terzo punto, trovate i vettori paralleli alle rette (quelli di prima) si trova un vettore ortogonale ad entrambi u=(1,1,-2). fatto questo prendi un punto di r generico (t,t,t) (potevamo prendere anche s) e imponi che A=(t,t,t)+au appartenga a s.

quindi A=(t+a,t+a,t-2a) sappiamo che x+y=2 e z=0 quindi t=2a, 2t+2a=2 ovvero 6a=2 a=1/3 e t=2/3

la retta ha equazioni parametriche (2/3,2/3,2/3)+au, $ainRR$ u=(1,1,-2) è ortogonale ad entrambe e per costruzione le interseca. spero di essere stato chiaro

[celeste4]

Ok..ho corretto i conti nel mio procedimento (avevo sbagliato dei segni nel calcolare i determinanti) e ho trovato la stessa retta che hai trovato tu...solo che effettivamente la mia strada era innecessariamente lunga...
grazie!