Esercizio di geometria e algebra lineare
salve a tutti!
mi date una mano a risolvere e a comprendere come si svolgono questi tipi di esercizi?
sia r la retta passante per i punti $ (3,1,0) $ e $ (2,1,1)$ , e sia $ pi$ il piano ortogonale ad r e passante per il punto$ (1,1,1) $ allora:
A)l'equazione del piano $ pi$ è$ x-z=0$
B)$ pi $ non passa per l'origine
C)l'equazione del piano$ pi $ è$ 2x-y+z=2$
D)$ pi$ non è determinato in modo unico
E)il piano $ pi$ passa per il punto $ (2,1,1) $
come faccio a verificare le soluzioni che mi vengono proposte?
mi date una mano a risolvere e a comprendere come si svolgono questi tipi di esercizi?
sia r la retta passante per i punti $ (3,1,0) $ e $ (2,1,1)$ , e sia $ pi$ il piano ortogonale ad r e passante per il punto$ (1,1,1) $ allora:
A)l'equazione del piano $ pi$ è$ x-z=0$
B)$ pi $ non passa per l'origine
C)l'equazione del piano$ pi $ è$ 2x-y+z=2$
D)$ pi$ non è determinato in modo unico
E)il piano $ pi$ passa per il punto $ (2,1,1) $
come faccio a verificare le soluzioni che mi vengono proposte?
Risposte
ciao!
per prima cosa devi trovare le equazioni della retta r, si scrivono facilmente in forma parametrica, così avrai le coordinate del vettore che indica la direzione della retta.
ricorda che per essere ortogonale al piano tali coordinate devono essere uguali a quelle del vettore normale di $pi$ (i coefficienti dei termini x,y,z dell'equazione del piano).
mentre per verificare l'appartenenza di un punto ad un piano devi semplicemente sostituire le coordinate del punto nell'equazione del piano
per prima cosa devi trovare le equazioni della retta r, si scrivono facilmente in forma parametrica, così avrai le coordinate del vettore che indica la direzione della retta.
ricorda che per essere ortogonale al piano tali coordinate devono essere uguali a quelle del vettore normale di $pi$ (i coefficienti dei termini x,y,z dell'equazione del piano).
mentre per verificare l'appartenenza di un punto ad un piano devi semplicemente sostituire le coordinate del punto nell'equazione del piano
trovo l'equazione della retta r:
dati i punti (3,1,0) (2,1,1)
applico la formula per poter trovare l'equazione parametrica della retta:
$ { ( x=x_1+t(x_2-x_1) ),( y=y_1+t(y_2-y_1) ),( z=z_1+t(z_2-z_1) ):} $
$ { ( x=3+t(2-3) ),( y=1+t(1-1) ),( z=0+t(1-0) ):} $
$ { ( x=3-t ),( y=1 ),( z=t ):} $
come devo andare avanti?
dati i punti (3,1,0) (2,1,1)
applico la formula per poter trovare l'equazione parametrica della retta:
$ { ( x=x_1+t(x_2-x_1) ),( y=y_1+t(y_2-y_1) ),( z=z_1+t(z_2-z_1) ):} $
$ { ( x=3+t(2-3) ),( y=1+t(1-1) ),( z=0+t(1-0) ):} $
$ { ( x=3-t ),( y=1 ),( z=t ):} $
come devo andare avanti?
bene,
i parametri direttori della retta sono quindi $(-1,0,1)$
A) l'equazione del piano $pi$ è $x-z = 0$ pertanto i parametri direttori di $pi$ sono $(1,0,-1)$, confrontandoli con i parametri direttori della retta si vede subito che i due vettori sono linearmente dipendenti questo significa che la retta e il piano sono ortogonali, inoltre, sostituendo le coordinate del punto $(1,1,1)$ nell'equazione $x - z = 0$ si ottiene $0 = 0$ (il punto appartiene al piano).
la prima risposta è esatta.
per verificare che le altre non sono corrette devi procedere in maniera simile
ciao!
i parametri direttori della retta sono quindi $(-1,0,1)$
A) l'equazione del piano $pi$ è $x-z = 0$ pertanto i parametri direttori di $pi$ sono $(1,0,-1)$, confrontandoli con i parametri direttori della retta si vede subito che i due vettori sono linearmente dipendenti questo significa che la retta e il piano sono ortogonali, inoltre, sostituendo le coordinate del punto $(1,1,1)$ nell'equazione $x - z = 0$ si ottiene $0 = 0$ (il punto appartiene al piano).
la prima risposta è esatta.
per verificare che le altre non sono corrette devi procedere in maniera simile
ciao!
ciao,
considerando la risposta c noto che sostituendo nell'equazione (1,1,1) ottengo 0=0 quindi anche questo punto appartiene al piano?
$ pi: 2x-y+z $
considerando la risposta c noto che sostituendo nell'equazione (1,1,1) ottengo 0=0 quindi anche questo punto appartiene al piano?
$ pi: 2x-y+z $
il punto appartiene a quel piano, ma la risposta (c) è errata in quanto la retta non è ortogonale a esso
"giovx24":
il punto appartiene a quel piano, ma la risposta (c) è errata in quanto la retta non è ortogonale a esso
ok, penso di esserci:
per verificarlo mi muovo nel seguente modo:
considero i parametri direttori del piano$ pi=2x-y+z$ che sono:(2,-1,1)
confronto con i parametri direttori della retta (-1,0,1)
verifico se sono linearmente dipendenti o indipendenti:
se sono linearmente dipendenti sono ortogonali mentre se sono linearmente indipendenti come sono?(paralleli?)
in questo caso ottengo:
$ { ( t_2=0 ),(t_1=0 ),( t_1=-t_2 ):} $
concludo che sono linearmente indipendenti
grazie!
se i due vettori sono linearmente indipendenti puoi solo concludere che la retta e il piano non sono ortogonali
la condizione di parallelismo piano/retta impone che il prodotto scalare tra i due vettori sia uguale a 0
la condizione di parallelismo piano/retta impone che il prodotto scalare tra i due vettori sia uguale a 0
perfetto grazie mi sei stato di grande aiuto! 
prego!
ciao, giovix24
ho un dubbio:
quando considero i parametri direttori del piano e della retta mi risulta che i vettori sono linearmente indipendenti e non linearmente dipendenti.
ti lascio i calcoli da me effettuati:
$ lambda_1(-1,1,1)+lambda_2(1,0,-1)$
scrivo il sistema:
$ { ( -lambda_1+lambda_2=0 ),( lambda_1=0 ),( lambda_1+lambda_2=0 ):} $
$ { ( lambda_1=lambda_2),( lambda_1=0 ),( lambda_1=lambda_2 ):} $
dal sistema ottengo che una possibile soluzione è il vettore nullo.
sto sbagliando qualcosa?
oppure un'altro modo per verificare se sono lin indipendenti o dipendenti e calcolare il rango, se ottengo rango massimo i vettori sono linearmente indipendenti se il rango è inferiore sono linearmente dipendenti, in questo caso mi torna che sono linearmente dipendenti.
cosa sbaglio nel sistema?
Grazie!
ho un dubbio:
quando considero i parametri direttori del piano e della retta mi risulta che i vettori sono linearmente indipendenti e non linearmente dipendenti.
ti lascio i calcoli da me effettuati:
$ lambda_1(-1,1,1)+lambda_2(1,0,-1)$
scrivo il sistema:
$ { ( -lambda_1+lambda_2=0 ),( lambda_1=0 ),( lambda_1+lambda_2=0 ):} $
$ { ( lambda_1=lambda_2),( lambda_1=0 ),( lambda_1=lambda_2 ):} $
dal sistema ottengo che una possibile soluzione è il vettore nullo.
sto sbagliando qualcosa?
oppure un'altro modo per verificare se sono lin indipendenti o dipendenti e calcolare il rango, se ottengo rango massimo i vettori sono linearmente indipendenti se il rango è inferiore sono linearmente dipendenti, in questo caso mi torna che sono linearmente dipendenti.
cosa sbaglio nel sistema?
Grazie!
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