Esercizio di Geometria B sulle Applicazioni lineari
Costruire una applicazione lineare T:R^3-->R^3 che soddisfi le seguenti proprietà:?
1. dimKerT=1
2. (1,1,1) è un autovettore di T
3. T è diagonalizzabile
(Suggerimento: Completare (1,1,1) a base di R^3 e definire opportunamente la T sui vettori di base, infine scrivere la formula della T e verificare che soddisfi tutte le proprietà.)
1. dimKerT=1
2. (1,1,1) è un autovettore di T
3. T è diagonalizzabile
(Suggerimento: Completare (1,1,1) a base di R^3 e definire opportunamente la T sui vettori di base, infine scrivere la formula della T e verificare che soddisfi tutte le proprietà.)
Risposte
Ciao e benvenuto.
Dal momento che il forum non ha come finalità la risoluzione a richiesta di esercizi, sarebbero gradite due parole in più (anche un saluto non offenderebbe nessuno).
Idee di risoluzione da parte tua?
Dal momento che il forum non ha come finalità la risoluzione a richiesta di esercizi, sarebbero gradite due parole in più (anche un saluto non offenderebbe nessuno).
Idee di risoluzione da parte tua?
Sì, scusa. In effetti hai ragione..
Ciao a tutti
Ho ragionato parecchio sulla risoluzione di questo esercizio, senza che però che le mie idee portassero ad un risultato concreto.
KerT è diverso da 0. Quindi l'operatore non è invertibile. Il determinante della matrice associata è diverso da 0. 0 deve essere uno degli autovalori.
Se il numero n delle colonne è uguale a 3, abbiamo che la dimensione dell'immagine di T dimImT=2. come conseguenza della formula $ n=dimKer+dimIm $. DimIm coincide con il rango. Quindi la matrice trovata dovrà avere rango uguale a 2. DI conseguenza i tre vettori che formano la base non devono essere tuttil linearmente indipendenti, ma una volta risolto l'algoritmo di Gauss rimangono due righe.
Se (1,1,1) è un autovettore, una possibile equazione che descrive l'applicazione lineare potrebbe essere $ x+y-2z=0 $, quindi 1 1 -2 potrebbe essere la prima riga della matrice; ma questa è solo un'idea esistono altre infine combinazioni.
Non sono riuscito ad assemblare tutte queste mie idee ad un risultato concreto.
Sarei molto grato se riusciste ad aiutarmi.
Grazie
Ciao a tutti
Ho ragionato parecchio sulla risoluzione di questo esercizio, senza che però che le mie idee portassero ad un risultato concreto.
KerT è diverso da 0. Quindi l'operatore non è invertibile. Il determinante della matrice associata è diverso da 0. 0 deve essere uno degli autovalori.
Se il numero n delle colonne è uguale a 3, abbiamo che la dimensione dell'immagine di T dimImT=2. come conseguenza della formula $ n=dimKer+dimIm $. DimIm coincide con il rango. Quindi la matrice trovata dovrà avere rango uguale a 2. DI conseguenza i tre vettori che formano la base non devono essere tuttil linearmente indipendenti, ma una volta risolto l'algoritmo di Gauss rimangono due righe.
Se (1,1,1) è un autovettore, una possibile equazione che descrive l'applicazione lineare potrebbe essere $ x+y-2z=0 $, quindi 1 1 -2 potrebbe essere la prima riga della matrice; ma questa è solo un'idea esistono altre infine combinazioni.
Non sono riuscito ad assemblare tutte queste mie idee ad un risultato concreto.
Sarei molto grato se riusciste ad aiutarmi.
Grazie
Dopo n tentativi sono giunto a una soluzione per via empirica:
$ T(x,y,z)=(x+y-z, y, -x+y+z) $
T(1,1,1)=(1,1,1)
La matrice associata è
$ 1 1 -1 $
$ 0 1 0 $
$ -1 1 1 $
$ dimKerL=n-rgA=3-2=1 $
La matrice è simmetrica e quindi diagonalizzabile. In particolare per l'autovalore 1 si ottiene l'autovettore (1,1,1)
Sono giunto alla conclusione per tentativi, cioè costruendo un'applicazione lineare che verificasse $ T(1,1,1)=(1,1,1) $. Ho verificato che il rango fosse pari a 2 e infine ho calcolato il polinomio caratteristico per verificare la diagonalizzabilità.
Se costruisco la matrice in modo che sia simmetrica, la diagonalizabilità è subito verificata.
Sareste in grado di fornirmi un metodo più veloce e corretto??
Grazie
$ T(x,y,z)=(x+y-z, y, -x+y+z) $
T(1,1,1)=(1,1,1)
La matrice associata è
$ 1 1 -1 $
$ 0 1 0 $
$ -1 1 1 $
$ dimKerL=n-rgA=3-2=1 $
La matrice è simmetrica e quindi diagonalizzabile. In particolare per l'autovalore 1 si ottiene l'autovettore (1,1,1)
Sono giunto alla conclusione per tentativi, cioè costruendo un'applicazione lineare che verificasse $ T(1,1,1)=(1,1,1) $. Ho verificato che il rango fosse pari a 2 e infine ho calcolato il polinomio caratteristico per verificare la diagonalizzabilità.
Se costruisco la matrice in modo che sia simmetrica, la diagonalizabilità è subito verificata.
Sareste in grado di fornirmi un metodo più veloce e corretto??
Grazie
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