Esercizio di geometria analitica molto lungo e complesso ;)

[Jaques44]

Salve ragazzi avrei questo esercizio

Fissato un riferimento cartesiano nello spazio euclideo tridimensionale.
Assegnati i punti
$ P(-1,2,-1) $
$ Q(-1,4,-3) $
la retta r :
$\{(x+y+z=2),(y+z=3):}$

e il piano $\pi$ di equazione

$ x+y+2z=1 $

1) Determinare una rappresentazione cartesiana della retta s per P e Q

2) Verificare che le rette r e s sono complanari determinare il piano $\alpha$ che le contiene e la distanza tra esse

3) Determinare una rappresentazione cartesiana della retta t per l'origine ortogonale ad s e parallela a $\pi$

4) Determinare una rappresentazione cartesiana della retta passante per P ortogonale $\pi$


Al punto 1 ho svolto così.

$PQ=(0,-2,2)$

che sarebbe un vettore direzione

il sistema parametrico di s è quindi :

$\{(x=-1),(y=2+2t),(z=-1-2t):}$

con riferimento cartesiano :

$\{(x=-1),(z+y=0):}$

Punto 2

mi trovo il riferimento parametrico di r:

$\{(x=-1),(y=3-t),(z=t):}$

con il vettore direzione di r :

$(0,-1,1)$

che è proporzionale al vettore direzione di s quindi sono parallele. Eguagliando le rappresentazione parametriche delle rette e risolvendo il sistema

$\{(-1=-1),(3-t=2+2t),(t=-1-2t):}$

scopro che non ha soluzioni e che quindi non si intersecano. Trovo il determinante della matrice

$|(x+1,y-2,z+1),(0,-1,1),(0,2,-2)|$

per determinarmi la rappresentazione cartesiana del piano $\alpha$, ma scopro che non ha formula, o meglio mi viene

$0+0+0=0$

Siano $P(-1,2,-1)$ un punto di s e $R(-1,3,0)$ un punto di r

$d(P,R)=sqrt(-1+1)+sqrt(2-3)+sqrt(-1)=4$ (le parentensi sono elevate a 2 ma non so come si fa, e la radice è unificata)

Fin qui ho fatto bene??? Se si, mi sono bloccato al punto 3 come lo svolgo???

[ciampax]

Ma $PQ=(0,-6,2)$, o sbaglio?

[Jaques44]

Si hai ragione ho fatto

$PQ=P-Q$ invece di $PQ=Q-P$ e tra l'altro ho sbagliato pure i segni
rifaccio i calcoli e posto i risultati
grazie

EDIT: Scusami ho ricontrollato P sul testo ed $P(-1,2,-1)$ quindi mi ritrovo con PQ (0,2,-2)

[ciampax]

Ah, ok, adesso sì. prima avevi scritto $P(-1,-2,-1)$! Allora la forma cartesiana è data da
$$\left\{\begin{array}{l}
x=-1\\ y+z=1
\end{array}\right.$$
non ti pare?

[Jaques44]

Ciao scusamni se non ti ho risposto subito ma ieri ho avuto un impegno improvviso,
comunque ho rifatto i calcoli e non mi trovo con i calcoli, mi viene cosi:

$\{(x=-1),(y=2+2t),(z=-1-2t):}$ ; $\{(x=-1),(t=frac{y}{2}),(z=-1-2t):}$ ; $\{(x=-1),(z=-1-y):}$ ; $\{(x=-1),(z+y=-1):}$

giusto?

[Jaques44]

nessuno riesce ad aiutarmi???

[vict85]

Riguardi i tuoi calcoli: hai dimenticato un \(2\) in giro.

[Jaques44]

Al punto 1?? ho ricontrollato ma non vedo dove ho perso il 2

[Edex1]

Nel calcolo dell'equazione cartesiana, la seconda condizione, occhio al due!

[Jaques44]

Ragazzi ho rifatto i calcoli della seconda condizione ma proprio non sono riuscito a trovare il 2 dimenticato, ho svolto così:
Forma parametrica di r :

$\{(x + y + z = 2),(y + z = 3):}$ ; $\{(x + y + t = 2),(y + t = 3),(z = t):}$ ; $\{(x = 2 - y - t),(y = 3 - t),(z = t):}$
$\{(x = 2 - (3 - t) - t),(y = 3 - t),(z = t):}$ ; $\{(x = 2 -3 + t - t),(y = 3 - t),(z = t):}$ ; $\{(x = -1),(y = 3 - t),(z = t):}$

Da cui si ricava il vettore direzione :

$(0,-1,1)$

Proseguo :

$(0,2,-2) = -2(0,-1,1)$

quindi le 2 rette sono parallele, scrivendo il sistema sottostante e risolvendolo posso vedere se le due rette si intersecano, o in questo caso, se sono coincidenti

$\{(-1 = -1),(3 - t = 2 + 2t),(t = -1 - 2t):}$ ; $\{(-1 = -1),(-t = -3 + 2 + 2t),(t = -1 - 2t):}$ ; $\{(-1 = -1),(-t = -1 + 2t),(t = -1 - 2t):}$ ; $\{(-1 = -1),(t = + 1 - 2t),(t = -1 - 2t):}$

Da cui deduco che il sistema non ha soluzioni e che quindi le rette non sono coincidenti. Passiamo al piano $\alpha$. Mi calcolo il determinate della matrice :

$|(x+1,y-2,z+1),(0,-1,1),(0,2,-2)|$

Sapendo già in precedenza che ha vettori dipendenti so già che il determinante verrà 0, ma in questo caso a me non serve tanto il risultato del determinante ma la formula che poi verra eguagliata a zero. Quella sarà la rappresentazione cartesiana del piano $\alpha$ giusto??? :
Calcolo con Sarrus sviluppando ovviamente tramite la prima riga:

$x + 1|(-1,1),(2,-2)| - (y - 2)|(0,1),(0,-2)| + z + 1|(0,-1),(0,2)|$
$x + 1(2 - 2) - (y - 2)(0 - 0) + z + 1(0 - 0)$ ; $x + 1(0) - (y - 2)(0) + z + 1(0)$ ; $0 - 0 + 0 = 0$

Non so cosa significhi questo risultato ho cercato su google ma niente e anche sugli appunti in mio possesso ma niente. Andando avanti mi calcolo la distanza minima tra le rette. Sia $P(-1,2,-1)$ un punto della retta s e $R(-1,3,0)$ un punto della retta r mi calcolo la distanza minima.

$d(P,R) = $sqrt((-1 + 1)^2 + (2 - 3)^2 + (-1)^2) ; $d(P,R) = $sqrt(+1 + 1 + 4 + 9 + 1) ; $d(P,R) = $sqrt(16) = 4

Continuo a non saper svolgere il punto 3, ho dato un occhiata al punto 4 ma sembra ancora più complessa.
Grazie per l'aiuto che mi state dando

[Jaques44]

Non so del perchè nessuno mi aiuti, forse ho chiesto troppo o forse è un esercizio davvero troppo complesso(sono sarcastico), fatto stà che sono diversi giorni che cerco una risposta da voi ma sembra vi sia antipatico. Da sottolineare che la mia era una richiesta d'aiuto, di certo non volevo che l'esercizio lo svolgeste voi. Mi bastava una spiegazione, qualche definizione, o magari link a qualche lezione sull'argomento. Credevo volesse aiutarmi, da come ho capito il forum serve anche a questo, ma a quanto vedo non vene frega più di tanto. Questo è davvero un brutto forum sappiatelo

[vict85]

Non prenderla sul personale, è solo che molti sono studenti come te e questo è un periodo di esami per tutti. Il tuo non è un esercizio difficile ma è lungo e bisogna aver un minimo di tempo e concentrazione per farlo.

Per il punto 3 devi mettere a sistema le varie condizioni che hai: passaggio per il punto, perpendicolarità e parallelismo con il piano.