Esercizio di geometria analitica
Ciao a tutti sono nuova nel forum, volevo chiedervi una mano con questo esercizio di geometria analitica nel piano.
Nello spazio, nel quale è stato fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxyz sono dati il punto A(1,0,3) e la retta r: $\{(x+2y = 1),(y-z=0)):}$ .
1. Scrivere la retta s passante per A e parallela a r.
2. Calcolare la distanza s tra r e s.
3. Scrivere il piano $\alpha$ contenente r e s.
4. Scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza tangente a s in A e tangente anche a r.
1.Io ho per prima cosa trasformato r in forma parametrica ponendo z=t, ho sostituito z nelle due equazioni e ho ottenuto
r=$\{(x= 1-2t ),(y= t),(z=t):}$ . Da questa forma ho dedotto Vr=(-2,1,1) e dovrei trovare Vs per scrivere la retta s, che per essere parallela a r, Vr e Vs devono essere proporzionali. Io ho scritto s in questo modo prendendo in riferimento il punto A, ma non so se è giusto, s=$\{(x=1-2t),(y=t),(z=3+t):}$
2. Per calcolare la distanza d tra r e s, per prima cosa ho intersecato la retta r con il piano $\alpha1$ passante per A:
$\alpha1$=ax+by+cz+d=0 dove (a,b,c)=(-2,1,1), poi ho imposto il passaggio per A e ho trovato il valore di d=-1, con questo passaggio posso dedurre che il piano cercato ha equazione -2x+z-1=0.
Ora calcolo il punto di intersezione tra il piano e la retta sostituendo le coordinate parametriche di r nell'equazione $\alpha1$:
-2(1-2t)-t-1=0 dove trovo che t=1.
Per trovare le coordinate della proiezione del punto A sulla retta r, cioè A' ho sostituito il valore del parametro nelle equazioni parametriche della retta r e trovo A'=(-1,1,1), quindi la distanza tra r e s è pari alla dist(A,A')=$sqrt( ((1+1)^2)+((0-1)^2)+((3-1)^2))$=3. Potete dirmi per favore se i passaggi che ho svolto sono giusti? per gli altri due punti non so proprio come muovermi, potete darmi una mano
? grazie mille 
Nello spazio, nel quale è stato fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxyz sono dati il punto A(1,0,3) e la retta r: $\{(x+2y = 1),(y-z=0)):}$ .
1. Scrivere la retta s passante per A e parallela a r.
2. Calcolare la distanza s tra r e s.
3. Scrivere il piano $\alpha$ contenente r e s.
4. Scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza tangente a s in A e tangente anche a r.
1.Io ho per prima cosa trasformato r in forma parametrica ponendo z=t, ho sostituito z nelle due equazioni e ho ottenuto
r=$\{(x= 1-2t ),(y= t),(z=t):}$ . Da questa forma ho dedotto Vr=(-2,1,1) e dovrei trovare Vs per scrivere la retta s, che per essere parallela a r, Vr e Vs devono essere proporzionali. Io ho scritto s in questo modo prendendo in riferimento il punto A, ma non so se è giusto, s=$\{(x=1-2t),(y=t),(z=3+t):}$
2. Per calcolare la distanza d tra r e s, per prima cosa ho intersecato la retta r con il piano $\alpha1$ passante per A:
$\alpha1$=ax+by+cz+d=0 dove (a,b,c)=(-2,1,1), poi ho imposto il passaggio per A e ho trovato il valore di d=-1, con questo passaggio posso dedurre che il piano cercato ha equazione -2x+z-1=0.
Ora calcolo il punto di intersezione tra il piano e la retta sostituendo le coordinate parametriche di r nell'equazione $\alpha1$:
-2(1-2t)-t-1=0 dove trovo che t=1.
Per trovare le coordinate della proiezione del punto A sulla retta r, cioè A' ho sostituito il valore del parametro nelle equazioni parametriche della retta r e trovo A'=(-1,1,1), quindi la distanza tra r e s è pari alla dist(A,A')=$sqrt( ((1+1)^2)+((0-1)^2)+((3-1)^2))$=3. Potete dirmi per favore se i passaggi che ho svolto sono giusti? per gli altri due punti non so proprio come muovermi, potete darmi una mano
? grazie mille
Risposte
La circonferenza richiesta è l'intersezione del piano delle due rette r ed s con la sfera avente come diametro
il segmento $A A'$ ovvero avente per centro il punto medio M del segmento $A A' $ e come raggio la distanza
$MA$ ( o, se si vuole, la distanza $MA'$).
A te i calcoli.
il segmento $A A'$ ovvero avente per centro il punto medio M del segmento $A A' $ e come raggio la distanza
$MA$ ( o, se si vuole, la distanza $MA'$).
A te i calcoli.
"sandroroma":
La circonferenza richiesta è l'intersezione del piano delle due rette r ed s con la sfera avente come diametro
il segmento $A A'$ ovvero avente per centro il punto medio M del segmento $A A' $ e come raggio la distanza
$MA$ ( o, se si vuole, la distanza $MA'$).
A te i calcoli.
grazie mille del suggerimento
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