Esercizio di geometria algebrica sulle 1-forme meromorfe
Buonasera, non riesco a dimostrare il seguente risultato:
Sia $\omega$ una 1-forma meromorfa su $\mathbb{C}_{\infty }$ tale che $\omega_{|_C}=f(z)dz$. Mostrare che f è rapporto di funzioni polinomiali.
Data $(U_1=\mathbb{C},\varphi_1=id_\mathbb{C})$ carta su $\mathbb{C}_{\infty }$ , la mia idea è quella di sfruttare il risultato noto sulle mappe olomorfe da $\mathbb{P}^1$ in $\mathbb{P}^1$.
se $f(z)$ fosse definita sull'aperto coordinato $U_1$ potrei pensare di passare alla mappa olomorfa associata, ma $f(z)$ è definita su $\varphi_1(U_1)$, non su $U_1$...Inoltre si tratta di una 1-forma meromorfa su di una superficie di Riemann, quindi mi piacerebbe poter usare la legge di trasformazione delle 1-forme. Qualche suggerimento su come sviluppare la dimostrazione?
Grazie
Sia $\omega$ una 1-forma meromorfa su $\mathbb{C}_{\infty }$ tale che $\omega_{|_C}=f(z)dz$. Mostrare che f è rapporto di funzioni polinomiali.
Data $(U_1=\mathbb{C},\varphi_1=id_\mathbb{C})$ carta su $\mathbb{C}_{\infty }$ , la mia idea è quella di sfruttare il risultato noto sulle mappe olomorfe da $\mathbb{P}^1$ in $\mathbb{P}^1$.
se $f(z)$ fosse definita sull'aperto coordinato $U_1$ potrei pensare di passare alla mappa olomorfa associata, ma $f(z)$ è definita su $\varphi_1(U_1)$, non su $U_1$...Inoltre si tratta di una 1-forma meromorfa su di una superficie di Riemann, quindi mi piacerebbe poter usare la legge di trasformazione delle 1-forme. Qualche suggerimento su come sviluppare la dimostrazione?
Grazie
Risposte
Un forma meromorfa globale è definita come una famiglia di \(\displaystyle \{ (U_{\alpha}, f_{\alpha}dz_{\alpha}) \} \) tale che \(\displaystyle f_{\alpha} \) è meromorfa in \(\displaystyle U_{\alpha} \) e \(\displaystyle f_{\beta} = f_{\alpha}(\varphi_{\alpha\beta}(z_{\beta})\frac{d}{d z_{\beta}} \varphi_{\alpha\beta}(z_{\beta}) \) in \(\displaystyle U_{\alpha}\cap U_{\beta} \). Quindi in che senso non puoi usare il cambiamento di coordinate? Il problema più grande penso sia “riempire i buchi”.
Comunque che spazio indichi con \(\displaystyle \mathbb{C}_{\infty} \) ? Penso tu intenda la sfera di Riemann, o equivalentemente \(\displaystyle P\mathbb{C}^1 \) ma vorrei esserne sicuro. Nel caso lo sia, e penso di si, Griffith nel suo “Introduction to Algebraic Curves” ti suggerisce di usare il fatto che \(\displaystyle \omega/\omega_0 \) è una funzione meromorfa, dove \(\displaystyle \omega_0 \) è un differenziale meromorfo fissato. La mia interpretazione della frase è che la mappa \(\displaystyle f_{\alpha}dz_{\alpha} \mapsto \frac{f_{\alpha}}{g_{\alpha}} \) dove \(\displaystyle \omega_0 = \{(U_{\alpha}, g_{\alpha}dz_{\alpha})\} \) è fissato è una funzione inieittiva e ben definita nell'insieme delle funzioni meromorfe (globali). Nota che puoi prendere \(\displaystyle \omega_0 = \{(U_1, dz), (U_2, -\frac{1}{u^2}du)\} \).
Comunque che spazio indichi con \(\displaystyle \mathbb{C}_{\infty} \) ? Penso tu intenda la sfera di Riemann, o equivalentemente \(\displaystyle P\mathbb{C}^1 \) ma vorrei esserne sicuro. Nel caso lo sia, e penso di si, Griffith nel suo “Introduction to Algebraic Curves” ti suggerisce di usare il fatto che \(\displaystyle \omega/\omega_0 \) è una funzione meromorfa, dove \(\displaystyle \omega_0 \) è un differenziale meromorfo fissato. La mia interpretazione della frase è che la mappa \(\displaystyle f_{\alpha}dz_{\alpha} \mapsto \frac{f_{\alpha}}{g_{\alpha}} \) dove \(\displaystyle \omega_0 = \{(U_{\alpha}, g_{\alpha}dz_{\alpha})\} \) è fissato è una funzione inieittiva e ben definita nell'insieme delle funzioni meromorfe (globali). Nota che puoi prendere \(\displaystyle \omega_0 = \{(U_1, dz), (U_2, -\frac{1}{u^2}du)\} \).
Sì, con $\mathbb{C}_{\infty }$ intendo la sfera di Riemann. Che vuol dire che la $f_\alpha$ è meromorfa in $U_\alpha$? Non è definita su $\varphi_\alpha(U_\alpha)$, non su $U_\alpha$?.
Come faccio a dimostrare che la $f_\alpha (z_\alpha)$ è rapporto di polinomi nel caso più generale possibile?
Grazie della risposta.
Come faccio a dimostrare che la $f_\alpha (z_\alpha)$ è rapporto di polinomi nel caso più generale possibile?
Grazie della risposta.
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