Esercizio di geometria

[Darèios89]

Ho nello spazio il piano [tex]\alpha)x-2y+1=0[/tex], la retta [tex]r)x-y=z-2=0[/tex] e il punto [tex]A(-1,0,0)[/tex]

Devo trovare la proiezione ortogonale della retta r su alfa.

Dovrebbe essere data da due piani, alfa stesso, e il piano contenente r(non so se passante per A) e ortogonale ad alfa. Ora impostando per il secondo piano l' equazione del fascio:

[tex]\lambda(x-y)+\mu(z-2)=0[/tex]

Io non sostituisco A, ma cerco di fissare un fattore, così da ottenere un parametro h, poi considererei il vettore normale del fascio, imponendo che esso sia ortogonale al vettore di [tex]\alpha[/tex]. Fissando [tex]\frac{\mu}{\lambda}=h[/tex] ottengo:

[tex]x-y+h(z-2)[/tex] e io so che il vettore normale sarebbe [tex]v(1,-1,h)[/tex]
Però nel determinare il valore di h per cui esso sarebbe ortogonale al vettore normale di [tex]\alpha[/tex] che sarebbe [tex]w(1,-2,0)[/tex] non mi risultano ortogonali.
Cosa non va?


Invece ho quest' altro:

PAG.18 quesito di geoemtria

http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... emente.pdf

Alla seconda richiesta, so che dovrei trovare il piano ortogonale ad [tex]\alpha[/tex], considerare un generico punto di r, e uno del piano [tex]\pi[/tex] che ho appena trovato, calcolo il punto medio tra i due e impongo che appartenga ad [tex]\alpha[/tex] ed ottengo un piano. La retta simmetrica è data dall' intersezione di tale piano con [tex]\pi[/tex]

Ora questo è quello che ho trovato tra alcuni appunti, non capisco come trovare il generico punto di un piano, quello della retta lo trovo passando in forma parametrica e mi risulterebbe [tex]A(t,0,0)[/tex] ma non so come trovare quello del piano. Non mi convince la parte sul punto medio, cos' è il punto medio tra due punti?
Non so davvero come procedere qui.

[byob12]

per quanto riguarda il problema sulla proiezione ortogonale non si capisce perche il testo fornisca il punto A se in realta non è necessario per fare la proiezione ortogonale.

ti segnalo una possibile procedura alternativa per la soluzione:
1. trova il punto $H=\alpha nn r$
2. scegli un generico punto $R in r$ (ma $R!=H$)
3. trova la retta $s \bot \alpha$ e passante per $R$
4. trova il punto $K=\alpha nn s$
5. la proiezione ortogonale cercata è la retta $t$

$t : \{(X=X_H+(X_H-X_K)\lambda),(Y=Y_H+(Y_H-Y_K)\lambda),(Z=Z_H+(Z_H-Z_K)\lambda):}$ [/list:u:4w4f0pss]