Esercizio di geometria

[Darèios89]

Sia dato nello spazio, il piano [tex]\alpha)x+y-z=3[/tex] la retta: [tex]\left\{\begin{matrix}
x-y=1\\

x+z=0\end{matrix}\right.[/tex] e il punto [tex]A(0,0,2)[/tex]

-Determinare la retta passante per A, parallela ad [tex]\alpha[/tex] e ortogonale ad r.

L' equazione di questa retta dovrebbe essere data da due piani, uno è quello contenente A e parallelo ad [tex]\alpha[/tex], l' altro è quello contenente r, passante per A e ortogonale ad [tex]\alpha[/tex]

Per l' equazione del primo piano dovrei avere:

[tex]a(x-0)+b(y-0)+c(z-2)=0[/tex]

[tex]ax+by+cz-2c=0[/tex]

Se non erro.

Per la seconda devo considerare il fascio di piani:

[tex]\lambda(x-y-1)+\mu(x+z)=0[/tex]

Impongo il passaggio per A:

[tex]\lambda(-1)+\mu(2)=0[/tex]

E qui già le cose non mi tornano....dovrei fissare ad esempio [tex]\frac{\mu}{\lambda}=h[/tex] ottenendo [tex]-1+2h=0[/tex]

A questo punto dovrei imporre la perpendicolarità tra i piani, e dovrei trovare il vettore direttore del piano che sto cercando mediante il fascio, ma non ho coordinate
Per caso il vettore è [tex]v(0,0,0)[/tex]?

Mi sembra strano, in ogni caso sarebbero ortogonali i piani e quindi l' equazione della retta sarebbe:

[tex]\left\{\begin{matrix}
ax+by+cz-2z=0\\

x=y=z=0\end{matrix}\right.[/tex]

Mi suona stranissimo, avrò fatto erroracci sicuramente, mi chiarireste un pò di cose?

[franced]

"Darèios89":Sia dato nello spazio, il piano [tex]\alpha)x+y-z=3[/tex] la retta: [tex]\left\{\begin{matrix}
x-y=1\\
x+z=0\end{matrix}\right.[/tex] e il punto [tex]A(0,0,2)[/tex]

-Determinare la retta passante per A, parallela ad [tex]\alpha[/tex] e ortogonale ad r.

Osserviamo prima di tutto che la retta [tex]r : \left\{\begin{matrix}
x-y=1\\
x+z=0\end{matrix}\right.[/tex]
è perpendicolare al piano [tex]\alpha[/tex] .

La retta cercata, quindi, passa dal punto [tex]A (0,0,2)[/tex] e dal punto [tex]H[/tex] di intersezione di [tex]r[/tex]
con il piano di equazione [tex]x+y-z+2=0[/tex] (è il piano parallelo ad [tex]\alpha[/tex] e passante per [tex]A[/tex]):

[tex]H : \left\{ \begin{array}{l}
x + y - z + 2 = 0 \\[1mm]
x - y = 1 \\[1mm]
x + z = 0
\end{array} \right. \;\; \Rightarrow \;\;
H : \left\{ \begin{array}{l}
x = -\dfrac{1}{3} \\[5mm]
y = -\dfrac{4}{3} \\[5mm]
z = \dfrac{1}{3}
\end{array} \right.[/tex] .

[Darèios89]

Che stupido, l' equazione del piano andava cercata non con i parametri generici ma con quelli del vettore.....mannaggia a quanto sono stupido.
Mh....ho un dubbio...non so se ho presente chiara la situazione.
In pratica il piano che noi abbiamo trovato, parallelo ad alfa e passante per A, contiene la retta di cui cerco l' equazione? Se così è mi torna che appunto r si interseca con il piano e quindi che l' intersezione è un punto della mia retta. Perciò dopo averlo trovato come hai fatto tu, dovrei trovare l' equazione mediante i due punti trovati che appartengono alla retta da trovare.

[franced]

"Darèios89":
...
In pratica il piano che noi abbiamo trovato, parallelo ad alfa e passante per A, contiene la retta di cui cerco l' equazione?
...

Certo!

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