Esercizio di geometria
Salve a tutti,in vista dell'esame di geometria volevo porvi questo quesito nella speranza ke possiate aiutarmi a risolverlo:
In R^3 ,dati i punti O=(0,0,0), A=(1,-1,0), B=(0,1,-1) siano "t" il piano che li contiene e "r" la retta per O ortogonale a "t".Determinare e studiare la quadrica Q luogo dei punti equidistanti da "t" e da "r".
Ringrazio tutti anticipatamente.
In R^3 ,dati i punti O=(0,0,0), A=(1,-1,0), B=(0,1,-1) siano "t" il piano che li contiene e "r" la retta per O ortogonale a "t".Determinare e studiare la quadrica Q luogo dei punti equidistanti da "t" e da "r".
Ringrazio tutti anticipatamente.
Risposte
Scusate,ma se questo è un sito in cui ci si scambiano informazioni su determinati argomenti,come algebra o geometria,non capisco la vostra risposta,io ho provato diverse volte a risolvere gli esercizi,ma si tratta di una tipologia che non avevo mai risolto,dunque ho avuto problemi,altrimenti non avrei scritto sul sito;penso inoltre che molte cose di matematica si possano comprendere proprio studiando su esercizi svolti,capendo il procedimento ed essere successivamente in grado di risolvere esercizi sulla stessa tipologia.Detto questo,auguro una buona serata a tutti.
Inizia a scrivere almeno l'equazione del piano.
Se non riesci a scrivere neanche quella significa che devi studiare un po'..
Se non riesci a scrivere neanche quella significa che devi studiare un po'..
equazione del piano :$x+y+z=0$ equazione della retta $x-y=0=x-z$ questi sono gli unici dati che sono riuscito a trovare,non so andare avanti...
Bene, lo vedi che qualcosa lo sapevi fare?.
Ora considera un punto $P(a,b,c)$ del luogo geometrico;
calcola la distanza dal piano e dalla retta.
Poi uguagli le due espressioni e hai l'equazione del luogo.
Ti dico subito che il luogo è un cono circolare.
Ora considera un punto $P(a,b,c)$ del luogo geometrico;
calcola la distanza dal piano e dalla retta.
Poi uguagli le due espressioni e hai l'equazione del luogo.
Ti dico subito che il luogo è un cono circolare.
Quindi devo ottenere una matrice 4*4 con rango uguale a 3.....ok grazie mille....scusa se sono sembrato pretenzioso,non volevo....
No, non ci siamo capiti.
Calcola la distanza di $P$ dal piano $x+y+z=0$.
Io ho già fatto tutti i calcoli, però ti ci voglio far arrivare, ok?
Calcola la distanza di $P$ dal piano $x+y+z=0$.
Io ho già fatto tutti i calcoli, però ti ci voglio far arrivare, ok?
Dunque applico la formula della distanza di un punto da un piano,e col valore ottenuto?
Devi applicare la formula con $P(a,b,c)$ e $x+y+z=0$.
Scrivi la distanza!
Scrivi la distanza!
Ormai scrivo io la soluzione:
la distanza di $P(a,b,c)$ dal piano $x+y+z=0$ è
$(|a+b+c|)/(sqrt(3))$
mentre la distanza di $P(a,b,c)$ dalla retta $x=y=z$ è
$sqrt( ( (a+b+c)/3 - a )^2 + ( (a+b+c)/3 - b )^2 + ( (a+b+c)/3 - c )^2 ) = sqrt(6 a^2 - 6 a b - 6 a c + 6 b^2 - 6 b c + 6 c^2) / 3$
uguagliando le distanze si ha:
$(|a+b+c|)/(sqrt(3)) = sqrt(6 a^2 - 6 a b - 6 a c + 6 b^2 - 6 b c + 6 c^2) /3 $
elevando tutto al quadrato, portando tutto a sinistra e moltiplicando per $-3$ otteniamo:
$a^2 + b^2 + c^2 - 4 a b - 4 a c - 4 b c = 0$ .
Operando le sostituzioni $a->x$, $b->y$, $c->z$ abbiamo l'equazione del cono:
$x^2 + y^2 + z^2 - 4 x y - 4 x z - 4 yz = 0$ .
Si tratta di un cono circolare di asse $x = y = z$ .
la distanza di $P(a,b,c)$ dal piano $x+y+z=0$ è
$(|a+b+c|)/(sqrt(3))$
mentre la distanza di $P(a,b,c)$ dalla retta $x=y=z$ è
$sqrt( ( (a+b+c)/3 - a )^2 + ( (a+b+c)/3 - b )^2 + ( (a+b+c)/3 - c )^2 ) = sqrt(6 a^2 - 6 a b - 6 a c + 6 b^2 - 6 b c + 6 c^2) / 3$
uguagliando le distanze si ha:
$(|a+b+c|)/(sqrt(3)) = sqrt(6 a^2 - 6 a b - 6 a c + 6 b^2 - 6 b c + 6 c^2) /3 $
elevando tutto al quadrato, portando tutto a sinistra e moltiplicando per $-3$ otteniamo:
$a^2 + b^2 + c^2 - 4 a b - 4 a c - 4 b c = 0$ .
Operando le sostituzioni $a->x$, $b->y$, $c->z$ abbiamo l'equazione del cono:
$x^2 + y^2 + z^2 - 4 x y - 4 x z - 4 yz = 0$ .
Si tratta di un cono circolare di asse $x = y = z$ .
Ciao,scusa per ieri ma ho avuto problemi con la connessione,comunque io ho trovato questo valore,ma non so se è corretto: (a+b+c)(redice di 3/3).....
Guarda che
$(sqrt(3))/(3) = 1/sqrt(3)$
$(sqrt(3))/(3) = 1/sqrt(3)$
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