Esercizio di geometria

[fed_27]

Salve a tutti sto facendo degli esercizi di geometria presi da un esame dell anno scorso
da un endomorfismo mi ricavo la sequente matrice associata in $R^3$

$((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,-4))$
trovo si che è diagonalizzabile e i suoi autovalori sono 0 2 e -4
vado a determinare gli autospazi e le relative basi
mi trovo v(0) (1,1,0)
v(2) (1,-1,0)
v(4) (0,0,1)

se vado a scrivere la matrice diagonale $((0,0,0),(0,2,0),(0,0,4))$
anche se una riga è nulla va bene lo stesso?prima domanda
la matrice che diagonalizza la prima è $((1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1))$ ?

la base ortonormale (poich ef è simmetrico ) è (1,1,0)(1,-1,0)(0,0,1)?
grazie

[Ska1]

Fidandomi del calcolo degli autovalori e delle basi degli autospazi, la matrice diagonale è quella indicata ($0$ ha la stessa dignità degli altri numeri), la matrice diagonalizzante è quella indicata, nelle colonne sono presenti i vettori delle basi degli autospazi. Per quanto riguarda la terza domanda... è facile verificare che la base data è ortogonale, i prodotti scalari sono tutti nulli, mentre non è ortonormale, dato che i vettori non hanno norma unitaria, cioè i primi due non hanno norma unitaria, quindi per ottenere una base ortonormale, dato che quella attuale è ortogonale, bisogna normalizzare i vettori della base, in alternativa puoi sempre applicare Graham-Schmidt.

[fed_27]

"Ska":Fidandomi del calcolo degli autovalori e delle basi degli autospazi, la matrice diagonale è quella indicata ($0$ ha la stessa dignità degli altri numeri), la matrice diagonalizzante è quella indicata, nelle colonne sono presenti i vettori delle basi degli autospazi. Per quanto riguarda la terza domanda... è facile verificare che la base data è ortogonale, i prodotti scalari sono tutti nulli, mentre non è ortonormale, dato che i vettori non hanno norma unitaria, cioè i primi due non hanno norma unitaria, quindi per ottenere una base ortonormale, dato che quella attuale è ortogonale, bisogna normalizzare i vettori della base, in alternativa puoi sempre applicare Graham-Schmidt.

una base ortonormale è dunque $(1/sqrt2,1/sqrt2,0),(1/sqrt2,-1/sqrt2,0),(0,01)$

[Ska1]

Sì, infatti ora che ci penso facendo Graham-Schimdt i prodotti scalari tra i vettori sono tutti nulli, quindi alla fine rimangono quelli stessi da normalizzare.
Essendo la norma dei primi due esattamente $\sqrt 2$ è corretto.