Esercizio di geometria
Sono dati il piano p: x-y+2z=0 e i due punti A(0,0,1), B(1,-1,1).
(a). Trovare tutti i punti C del piano p tali che il triangolo ABC sia equilatero.
(b). Trovare la retta simmetrica rispetto al piano p della retta per A e B.
Per risolvere il primo punto ho provato a scrivere il punto C in questa forma C(y-2z, y, z) e poi ho posto che la distanza di A da B è uguale alla distanza di C da B però non mi esce. Poi per quanto riguarda il secondo punto non ho capito che cosa devo trovare.
Spero che qualcuno di voi sia così gentile da aiutarmi ciao
(a). Trovare tutti i punti C del piano p tali che il triangolo ABC sia equilatero.
(b). Trovare la retta simmetrica rispetto al piano p della retta per A e B.
Per risolvere il primo punto ho provato a scrivere il punto C in questa forma C(y-2z, y, z) e poi ho posto che la distanza di A da B è uguale alla distanza di C da B però non mi esce. Poi per quanto riguarda il secondo punto non ho capito che cosa devo trovare.
Spero che qualcuno di voi sia così gentile da aiutarmi ciao
Risposte
La simmetria rispetto ad un piano funziona così:
se $p$ è il piano e $P$ è un punto dello spazio, detto $N$ il piede della perpendicolare al piano passante per $P$, $sigma(P)$ è il punto dello spazio individuato dalla condizione $\vec{NP}=\vec{sigma(P)N}=-\vec{Nsigma(P)}$.
Nel concreto, detto $\vec{n}$ un versore normale al piano, e $Q$ un punto qualunque del piano, puoi calcolare $\vec{PN}$ come proiezione ortogonale di $\vec{PQ}$ su $\vec{n}$ (nel senso che $\vec{PN}=(\vec{PQ}\cdot\vec{n})\vec{n}$. A questo punto puoi osservare che $sigma(P)$ lo ottieni da $P$ traslando di vettore $2\vec{PN}$. Quindi una espressione analitica per $sigma(P)$ se $P=(x,y,z)$ è:
$sigma(x,y,z)=(x,y,z)+2[(q_1-x, q_2-y, q_3-z)cdot(n_1, n_2, n_3)] (n_1, n_2, n_3)$
dove $(q_1, q_2, q_3)$ è un punto qualsiasi del piano, $(n_1, n_2, n_3)$ è un versore normale al piano.
Detto questo, puoi anche semplificarti la vita se osservi che, scelto un opportuno riferimento cartesiano e posta l'origine nel piano (cosa che nel tuo caso già c'è), la simmetria rispetto al piano non fa altro che fissare tutti i punti del piano stesso e moltiplicare per $-1$ tutti i vettori di una retta ortogonale. Quindi la matrice associata alla simmetria sarà $((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, -1))$.
(ho la sensazione di non essere stato molto chiaro - nel caso chiedi pure!) ciao!
se $p$ è il piano e $P$ è un punto dello spazio, detto $N$ il piede della perpendicolare al piano passante per $P$, $sigma(P)$ è il punto dello spazio individuato dalla condizione $\vec{NP}=\vec{sigma(P)N}=-\vec{Nsigma(P)}$.
Nel concreto, detto $\vec{n}$ un versore normale al piano, e $Q$ un punto qualunque del piano, puoi calcolare $\vec{PN}$ come proiezione ortogonale di $\vec{PQ}$ su $\vec{n}$ (nel senso che $\vec{PN}=(\vec{PQ}\cdot\vec{n})\vec{n}$. A questo punto puoi osservare che $sigma(P)$ lo ottieni da $P$ traslando di vettore $2\vec{PN}$. Quindi una espressione analitica per $sigma(P)$ se $P=(x,y,z)$ è:
$sigma(x,y,z)=(x,y,z)+2[(q_1-x, q_2-y, q_3-z)cdot(n_1, n_2, n_3)] (n_1, n_2, n_3)$
dove $(q_1, q_2, q_3)$ è un punto qualsiasi del piano, $(n_1, n_2, n_3)$ è un versore normale al piano.
Detto questo, puoi anche semplificarti la vita se osservi che, scelto un opportuno riferimento cartesiano e posta l'origine nel piano (cosa che nel tuo caso già c'è), la simmetria rispetto al piano non fa altro che fissare tutti i punti del piano stesso e moltiplicare per $-1$ tutti i vettori di una retta ortogonale. Quindi la matrice associata alla simmetria sarà $((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, -1))$.
(ho la sensazione di non essere stato molto chiaro - nel caso chiedi pure!) ciao!
infatti non ho capito granchè, non è che potresti spiegare meglio?
Riprovo: per la riflessione $sigma$ di asse un piano $p$ c'è una formula, che ho scritto sopra e riscrivo adesso:
$sigma(\vec{x})=\vec{x}+2[(\vec{q}-\vec{x})\cdot\vec{n}]\vec{n}$ ovvero
$sigma(x,y,z)=(x,y,z)+2[(q_1-x, q_2-y, q_3-z)cdot(n_1, n_2, n_3)] (n_1, n_2, n_3)$.
dove $\vec{q}$ sono le coordinate di un punto qualsiasi del piano, $\vec{n}$ è un versore normale al piano, $\cdot$ è il prodotto scalare.
La dimostrazione l'ho scritta prima, siccome penso che non si capisca niente puoi provare su wikipedia:
http://it.wikipedia.org/wiki/Riflessione_(geometria)
Attento al fatto che su questo link si parla solo di (iper)piani passanti per l'origine.
Quindi il metodo "standard" per risolvere quasti esercizi è:
1)trovare un $\vec{q}$ coordinate di un punto del piano (Nel tuo caso ovviamente scegli l'origine);
2)trovare un versore $\vec{n}$ (facile: se l'equazione è $ax+by+cz=d$, allora un vettore ortogonale alla direzione del piano è $(a, b, c)$. Dividi per la norma di $(a,b,c)$ e hai $\vec{n}$);
3)calcolare delle equazioni parametriche della retta AB, diciamo ${\vec{x}=\gamma(t):}$;
4)sostituire $\vec{x}$ con $sigma(\vec{x})$.;
5)in conclusione, abbiamo l'equazione $sigma(\vec{x})=gamma(t)$ che descrive il luogo dei punti che riflessi mediante $sigma$ sono la retta AB. Ovvero la retta AB riflessa di asse il piano $p$.
Ovviamente non è necessario fare tutto questo ambaradàn nel caso del tuo esercizio. Si può risolvere in vari modi molto più veloci!
Ad esempio, se la retta $AB$ interseca il piano $p$ nel punto $P$, allora sicuramente la retta riflessa deve passare per $P$. Allora basta calcolare il riflesso di un altro punto della retta, diverso da $P$ ($A$ o $B$ vanno benissimo) e scrivere delle equazioni della retta passante per questi due punti. Oppure puoi calcolare direttamente $sigma(A), sigma(B)$: la retta passante per questi due punti è la retta riflessa.
in pratica tu dici che per prima cosa bisogna trovare la retta passante per A e B, poi intersecarla con il piano p e vedere il punto di intersezione, poi se ad esempio scelgo il punto simmetrico di A cioè (0,0,-1) la retta passante per il simmetrico di A e per il punto P sarebbe la retta simmetrica rispetto al piano p della retta per A e B?
Ma come fai a dire che il riflesso di A (A=$(0,0,1)$) è (0,0,-1)? Tu hai calcolato il simmetrico di A rispetto all'origine, non rispetto al piano $p$. Per calcolare il simmetrico di A rispetto a $p$ devi costruire $sigma$ (vedi qualche post fa). Per spiegarmi meglio scrivo la mia risoluzione del 2° punto.
Allora. Vogliamo determinare l'applicazione $sigma$ che trasforma ogni punto dello spazio nel suo simmetrico rispetto al piano $p$. Abbiamo già trovato una sua espressione come $sigma(\vec{x})=\vec{x}+2[(\vec{q}-\vec{x})\cdot\vec{n}]\vec{n}$. Sappiamo che l'origine appartiene a $p$, quindi come $\vec{q}$ prendiamo $\vec{0}$. Resta da calcolare $\vec{n}$ che è facile, basta scrivere l'equazione del piano in forma matriciale come $p:\ (1, -1, 2)((x),(y),(z))=0$, e prendere $\vec{n}:=((1, -1, 2))/(||(1,-1,2)||)=(1/2, -1/2, 1)$. Adesso abbiamo tutti gli ingredienti per esplicitare $sigma$:
$sigma(x,y,z)=(1/2x+1/2y-z, 1/2y+1/2x+z, -z-x+y)$.
Possiamo adesso prendere varie strade. La più veloce e razionale è quella di costruire la retta passante per $sigma(A), sigma(B)$. Ovvero :
$sigma(A)=(-1,1,-1); sigma(B)=(-1,1,-3)$. La retta passante per questi due punti ha equazione
$(x,y,z)=(1-t)sigma(A)+tsigma(B)=(-1, 1, -1-2t)$.
Un'altra strada era quella di trovare l'intersezione di $p$ con la retta AB. (ma te la sconsiglio, ti fa fare più calcoli).
Oppure potevi trovare equazioni parametriche della retta AB e sostituire $(x,y,z)$ con $sigma(x,y,z)$.
Questo sistema (a cui mi riferisco nei 5 punti che ho scritto due o tre post fa) ha il vantaggio di funzionare con tutte le figure geometriche descritte da equazioni parametriche, non solo con le rette.
Allora. Vogliamo determinare l'applicazione $sigma$ che trasforma ogni punto dello spazio nel suo simmetrico rispetto al piano $p$. Abbiamo già trovato una sua espressione come $sigma(\vec{x})=\vec{x}+2[(\vec{q}-\vec{x})\cdot\vec{n}]\vec{n}$. Sappiamo che l'origine appartiene a $p$, quindi come $\vec{q}$ prendiamo $\vec{0}$. Resta da calcolare $\vec{n}$ che è facile, basta scrivere l'equazione del piano in forma matriciale come $p:\ (1, -1, 2)((x),(y),(z))=0$, e prendere $\vec{n}:=((1, -1, 2))/(||(1,-1,2)||)=(1/2, -1/2, 1)$. Adesso abbiamo tutti gli ingredienti per esplicitare $sigma$:
$sigma(x,y,z)=(1/2x+1/2y-z, 1/2y+1/2x+z, -z-x+y)$.
Possiamo adesso prendere varie strade. La più veloce e razionale è quella di costruire la retta passante per $sigma(A), sigma(B)$. Ovvero :
$sigma(A)=(-1,1,-1); sigma(B)=(-1,1,-3)$. La retta passante per questi due punti ha equazione
$(x,y,z)=(1-t)sigma(A)+tsigma(B)=(-1, 1, -1-2t)$.
Un'altra strada era quella di trovare l'intersezione di $p$ con la retta AB. (ma te la sconsiglio, ti fa fare più calcoli).
Oppure potevi trovare equazioni parametriche della retta AB e sostituire $(x,y,z)$ con $sigma(x,y,z)$.
Questo sistema (a cui mi riferisco nei 5 punti che ho scritto due o tre post fa) ha il vantaggio di funzionare con tutte le figure geometriche descritte da equazioni parametriche, non solo con le rette.
sei tu che non hai capito questa formula non va bene perchè non lo abbiamo fatto a lezione
E come avete fatto a lezione le riflessioni?
non le abbiamo fatte le riflessioni
e cmq sia diceva la strada di trovare l'intersezione della retta passante per A e B con il piano P, come si risolve con questo procedimento? cmq sia trovare l'intersezione della retta passante per A e B con il piano p non comporta granchè di calcoli
e cmq sia diceva la strada di trovare l'intersezione della retta passante per A e B con il piano P, come si risolve con questo procedimento? cmq sia trovare l'intersezione della retta passante per A e B con il piano p non comporta granchè di calcoli
Vabbè, in tutti i casi devi trovare almeno un punto simmetrico rispetto al piano. Su questo penso che siamo d'accordo.
Come fare per trovarlo è la questione. Se non vuoi usare la formula di $sigma$ devi andare di ragionamento geometrico. Supponiamo di voler calcolare il simmetrico di A rispetto a $p$. Devi fare queste operazioni:
1)calcolare l'equazione della retta passante per A e di direzione ortogonale a $p$;
2)calcolare l'intersezione di questa retta con $p$, chiamiamola $N$;
3)adesso devi spostare A lungo questa retta di un vettore che è pari a $2\vec{AN}$;
4)in conclusione il simmetrico di $A$ ha per coordinate $A +2(N-A)$.
Se ti visualizzi la cosa vedi che non è difficile.
A questo punto, o calcoli anche il simmetrico di $B$ oppure calcoli l'intersezione di $p$ con la retta AB. Infine calcoli l'equazione della retta passante per quest'ultimo punto e per il simmetrico di A.
Come fare per trovarlo è la questione. Se non vuoi usare la formula di $sigma$ devi andare di ragionamento geometrico. Supponiamo di voler calcolare il simmetrico di A rispetto a $p$. Devi fare queste operazioni:
1)calcolare l'equazione della retta passante per A e di direzione ortogonale a $p$;
2)calcolare l'intersezione di questa retta con $p$, chiamiamola $N$;
3)adesso devi spostare A lungo questa retta di un vettore che è pari a $2\vec{AN}$;
4)in conclusione il simmetrico di $A$ ha per coordinate $A +2(N-A)$.
Se ti visualizzi la cosa vedi che non è difficile.
A questo punto, o calcoli anche il simmetrico di $B$ oppure calcoli l'intersezione di $p$ con la retta AB. Infine calcoli l'equazione della retta passante per quest'ultimo punto e per il simmetrico di A.
non capisco questo 2AN da dove viene
$A+2\vec{AN}$ è il punto simmetrico di A rispetto a N. E' la definizione di punto simmetrico rispetto ad un piano. Prova a fare un disegno, lo vedi subito.
La faccenda è questa: se trasli $A$ di $\vec{AN}=N-A$ ottieni proprio $N$, cioè il piede della perpendicolare. Tu però devi portare A nel punto che sta "sulla parte opposta" rispetto al piano, e quindi devi fare 2 volte questa traslazione.
Se preferisci puoi ottenere lo stesso risultato traslando $N$ di vettore $\vec{AN}$. Così ottieni che il simmetrico di $A$ è $N+\vec{AN}=N+N-A=2N-A$. E' più chiaro?
La faccenda è questa: se trasli $A$ di $\vec{AN}=N-A$ ottieni proprio $N$, cioè il piede della perpendicolare. Tu però devi portare A nel punto che sta "sulla parte opposta" rispetto al piano, e quindi devi fare 2 volte questa traslazione.
Se preferisci puoi ottenere lo stesso risultato traslando $N$ di vettore $\vec{AN}$. Così ottieni che il simmetrico di $A$ è $N+\vec{AN}=N+N-A=2N-A$. E' più chiaro?
no forse perchè abbiamo usato delle notazioni diverse
sto andando un po' nel pallone scusami
sto andando un po' nel pallone scusami
Figurati... sono io che non riesco ad essere abbastanza chiaro. Questi risultati non si capiscono finché uno non se li visualizza graficamente. Prova a farti un disegno del piano, dei punti A e B, dei punti riflessi (a proposito - riflessi o simmetrici è lo stesso) e delle rette AB e la sua simmetrica.
vabbè non ti preoccupare non sei tu, il problema è che è difficile poter spiegare queste cose chiaramente qui, ci vorrebbe una persona che me lo spiegasse con carta e penna davanti a me
pensavo che fosse molto più semplice questo esercizio, invece sto notando che è molto articolato
pensavo che fosse molto più semplice questo esercizio, invece sto notando che è molto articolato
[asvg]xmin=-0.3;
xmax=1;
ymin=-0.3;
ymax=1;
axes();
stroke="black";
line([-2,-2],[2,2]);
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dot([0,1]);
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stroke="red";
marker="arrow";
line([1,0], [0.5,0.5]);
line([0.5, 0.5], [0,1]);
text([1,-0.1],"A",below);
text([0.6,0.5], "N", right);
text([0.1, 1], "sigma(A)", right);
text([-0.1,-0.15], "p", below);[/asvg]
Forse così ci possiamo capire. Questo disegno rappresenta la simmetria di asse $p$ nel piano, ma nello spazio tridimensionale è esattamente la stessa cosa. Le frecce rosse indicano lo spostamento che devi imprimere ad A perché arrivi su $sigma(A)$, che è il suo simmetrico rispetto a $p$. E' chiaro adesso da dove esce quel $2\vec{AN}$? Nota che le due frecce sono uguali e sono esattamente il vettore $\vec{AN}$.
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Forse così ci possiamo capire. Questo disegno rappresenta la simmetria di asse $p$ nel piano, ma nello spazio tridimensionale è esattamente la stessa cosa. Le frecce rosse indicano lo spostamento che devi imprimere ad A perché arrivi su $sigma(A)$, che è il suo simmetrico rispetto a $p$. E' chiaro adesso da dove esce quel $2\vec{AN}$? Nota che le due frecce sono uguali e sono esattamente il vettore $\vec{AN}$.
scusa ma non riesco a vedere niente
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http://www.adobe.com/svg/viewer/install/mainframed.html
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uso mozzilla firefox
Vabbé... si è fatto tardi, io me ne vado a dormire. Se riesci a vedere il grafico forse si chiarisce la questione. Magari prova a vedere la sezione "il nostro forum: come si usa eccetera...". Buonanotte!
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