Esercizio di Geometria
L'esercizio è il seguente:
Nello spazio euclideo $E^3$ si fissi un sistema di riferimento ortonormale e si considerino le rette
$r: \{(x+y-2z=0),(2y-3z+2=0):}, s: \{(x=-2+t),(y=3t),(z=1+t):}$
Determinare la posizione reciproca di $r$ ed $s$ e, se non sono parallele, trovare la comune perpendicolare e la minima distanza tra esse.
Bene. Per prima cosa la seconda retta la passo in forma cartesiana e faccio:
$\{(t=2+x),(y=3(2+x)=6+3x),(z=1+2+t=3+t):}, s: \{(3x-y+6=0),(x-z+3=0):}$
Ora per la posizione reciproca tra due rette si dovrebbe fare:
$r nn s: \{(x+y-2z=0),(2y-3z+2=0),(3x-y+6=0),(x-z+3=0):}$
e poi metterle in una matrice che chiamiamo $(A|B)$ in cui $(B)$ è la colonna dei termini noti. Abbiamo quindi:
$(A|B)=((1,1,-2,0),(0,-2,-3,2),(3,-1,0,6),(1,0,-1,3))$
A questo punto dobbiamo trovare il rango della matrice $(A)$ e della matrice $(A|B)$ e vedere se sono incidenti o parallele oppure coincidenti. So che per essere parallele il rango della matrice $(A)=2$ e il rango della matrice $(A|B)=3$, mentre per essere coincidenti devono essere entrambe uguali ad $2$.
Per trovare il rango delle due matrici come devo partire? So che si dovrebbe prendere una sottomatrice e vederne il determinante ma non so poi dal determinante capire qual è il rango. La matrice è $4*4$ quindi il rango massimo è $4$, giusto?
Nello spazio euclideo $E^3$ si fissi un sistema di riferimento ortonormale e si considerino le rette
$r: \{(x+y-2z=0),(2y-3z+2=0):}, s: \{(x=-2+t),(y=3t),(z=1+t):}$
Determinare la posizione reciproca di $r$ ed $s$ e, se non sono parallele, trovare la comune perpendicolare e la minima distanza tra esse.
Bene. Per prima cosa la seconda retta la passo in forma cartesiana e faccio:
$\{(t=2+x),(y=3(2+x)=6+3x),(z=1+2+t=3+t):}, s: \{(3x-y+6=0),(x-z+3=0):}$
Ora per la posizione reciproca tra due rette si dovrebbe fare:
$r nn s: \{(x+y-2z=0),(2y-3z+2=0),(3x-y+6=0),(x-z+3=0):}$
e poi metterle in una matrice che chiamiamo $(A|B)$ in cui $(B)$ è la colonna dei termini noti. Abbiamo quindi:
$(A|B)=((1,1,-2,0),(0,-2,-3,2),(3,-1,0,6),(1,0,-1,3))$
A questo punto dobbiamo trovare il rango della matrice $(A)$ e della matrice $(A|B)$ e vedere se sono incidenti o parallele oppure coincidenti. So che per essere parallele il rango della matrice $(A)=2$ e il rango della matrice $(A|B)=3$, mentre per essere coincidenti devono essere entrambe uguali ad $2$.
Per trovare il rango delle due matrici come devo partire? So che si dovrebbe prendere una sottomatrice e vederne il determinante ma non so poi dal determinante capire qual è il rango. La matrice è $4*4$ quindi il rango massimo è $4$, giusto?
Risposte
non vorrei errare ma i termini noti nella matrice sono di segno negativo..e d altronde il rango della matrice lo trovi facilmente riducendo per righe la matrice A (4x3) rango max3 e poi nella stessa maniera vedi quello di B (4x4) rango max4, come hai già detto se il rango coincide si intersecano mentre se è diverso no...comunque io per vedere se sono parallele avendo le eq delle rette vedrei se i vettori direzionali delle rette sono proporzionali se si sono parallele, altrimenti farei il prodotto scalare uguale a 0 per vedere se sono perpendicolari.Se non dovessi ottenere info sufficienti passerei al sistema da te proposto 
Scusa, hai ragione, sono negative. XD
Comunque la prof vuole che si risolva in questo modo. Cosa intendi per "riducendo per righe" le due matrici?
Comunque la prof vuole che si risolva in questo modo. Cosa intendi per "riducendo per righe" le due matrici?
"Kernul":
Scusa, hai ragione, sono negative. XD
Comunque la prof vuole che si risolva in questo modo. Cosa intendi per "riducendo per righe" le due matrici?
Riducendo per righe la matrice trovi molto facilmente lo spazio delle righe che come ben saprai corrisponde al rango della tua matrice
Ho risolto l'esercizio. Lo riscrivo così vediamo se mi trovo con altri.
I ranghi erano $(A)=3$ e $(A|B)=4$. Da questo si capisce che le due rette sono sghembe.
Per trovare la retta comune perpendicolare $t$ si procede trovandosi $\vec v_r$ e $\vec v_s$ in questo modo:
$\vec v_r=(l, m, n)$
$\vec v_s=(l', m', n')$
$l$, $m$, $n$ e $l'$, $m'$, $n'$ si calcolano formando delle matrici con le due rette.
$l=((1,-2),(2,-3))=1*(-3)-(-2)*2=-3+4=1$
$m=((1,-2),(0,-3))=-3$
$n=((1,1),(0,2))=2$
$l'=((-1,0),(0,-1))=1$
$m'=((3,0),(1,-1))=-3$
$n'=((3,-1),(1,0))=1$
Quindi:
$\vec v_r=(1, -3, 2)$
$\vec v_s=(1, -3, 1)$
Ora mi calcolo il vettore
$\vec v_t=\vec v_r xx \vec v_s=|(\hat i, \hat j, \hat k),(1,-3,2),(1,-3,1)|=-3 \hat i +6 \hat i + \hat j -2 \hat j -3 \hat k +3 \hat k=3 \hat i - \hat j=(3,-1,0)$
A questo punto prendo due punti $P_0 in r$ e $Q_0 in s$
$P_0(2,2,2)$
$Q_0(-1,3,-2)$
Mi calcolo il piano $\alpha$ in cui si trova $v_r$ e $v_t$ e poi il piano $\beta$ in cui si trova $v_s$ e $v_t$.
$\alpha : P_0,v_r,v_t$
$\alpha : |(x-2,y-2,z-2),(1,-3,2),(3,-1,0)|=0$
$2(x-2)+6(y-2)+8(z-2)=0$
$2x+6y+8z-4-12-16=0$
$2x+6y+8z-32=0$
$x+3y+4z-16=0$
E quest'ultima è l'equazione del piano $\alpha$
$\beta : Q_0,v_s,v_t$
$\beta : |(x+1,y-3,z+2),(1,-3,1),(3,-1,0)|=0$
$(x+1)+3(y-3)+8(z+2)=0$
$x+3y+8z+1-9+16=0$
$x+3y+8z+8=0$
E quest'ultima è l'eqauzione del piano $\beta$
La retta comune perpendicolare è:
$t : \{(x+3y+4z-16=0),(x+3y+8z+8=0)$
La distanza minima si trova in questo modo:
$\pi_1, \pi_2 : x+y+z+d_1,2=0$
Applico i due punti $P_0$ e $Q_0$
$2+2+2+d_1=0 rarr d_1=-6$
$-1+3-2+d_2=0 rarr d_2=0$
In cui $r$ ed $s$ si trovano rispettivamente nei piani $\pi_1$ e $\pi_2$. Quindi i due piani sono:
$\pi_1 : x+y+z-6=0$
$\pi_2 : x+y+z=0$
La distanza è quindi:
$d(r,s)=d(\pi_1,\pi_2)=|d_1-d_2|/sqrt(a_1^2*a_2^2+b_1^2*b_2^2+c_1^2*c_2^2)=|-6|/sqrt (1+1+1)=6/sqrt (3)=2sqrt(3)$
Con questo finisce il primo punto dell'esercizio(il secondo punto non l'ho messo perché non si possono fare due esercizi in una stessa discussione, se trovo qualche dubbio anche nel secondo punto riposterò l'esercizio in una discussione nuova linkando a questa discussione)
Ditemi se ho sbagliato qualcosa o qualche passaggio e conti vari. Grazie!
I ranghi erano $(A)=3$ e $(A|B)=4$. Da questo si capisce che le due rette sono sghembe.
Per trovare la retta comune perpendicolare $t$ si procede trovandosi $\vec v_r$ e $\vec v_s$ in questo modo:
$\vec v_r=(l, m, n)$
$\vec v_s=(l', m', n')$
$l$, $m$, $n$ e $l'$, $m'$, $n'$ si calcolano formando delle matrici con le due rette.
$l=((1,-2),(2,-3))=1*(-3)-(-2)*2=-3+4=1$
$m=((1,-2),(0,-3))=-3$
$n=((1,1),(0,2))=2$
$l'=((-1,0),(0,-1))=1$
$m'=((3,0),(1,-1))=-3$
$n'=((3,-1),(1,0))=1$
Quindi:
$\vec v_r=(1, -3, 2)$
$\vec v_s=(1, -3, 1)$
Ora mi calcolo il vettore
$\vec v_t=\vec v_r xx \vec v_s=|(\hat i, \hat j, \hat k),(1,-3,2),(1,-3,1)|=-3 \hat i +6 \hat i + \hat j -2 \hat j -3 \hat k +3 \hat k=3 \hat i - \hat j=(3,-1,0)$
A questo punto prendo due punti $P_0 in r$ e $Q_0 in s$
$P_0(2,2,2)$
$Q_0(-1,3,-2)$
Mi calcolo il piano $\alpha$ in cui si trova $v_r$ e $v_t$ e poi il piano $\beta$ in cui si trova $v_s$ e $v_t$.
$\alpha : P_0,v_r,v_t$
$\alpha : |(x-2,y-2,z-2),(1,-3,2),(3,-1,0)|=0$
$2(x-2)+6(y-2)+8(z-2)=0$
$2x+6y+8z-4-12-16=0$
$2x+6y+8z-32=0$
$x+3y+4z-16=0$
E quest'ultima è l'equazione del piano $\alpha$
$\beta : Q_0,v_s,v_t$
$\beta : |(x+1,y-3,z+2),(1,-3,1),(3,-1,0)|=0$
$(x+1)+3(y-3)+8(z+2)=0$
$x+3y+8z+1-9+16=0$
$x+3y+8z+8=0$
E quest'ultima è l'eqauzione del piano $\beta$
La retta comune perpendicolare è:
$t : \{(x+3y+4z-16=0),(x+3y+8z+8=0)$
La distanza minima si trova in questo modo:
$\pi_1, \pi_2 : x+y+z+d_1,2=0$
Applico i due punti $P_0$ e $Q_0$
$2+2+2+d_1=0 rarr d_1=-6$
$-1+3-2+d_2=0 rarr d_2=0$
In cui $r$ ed $s$ si trovano rispettivamente nei piani $\pi_1$ e $\pi_2$. Quindi i due piani sono:
$\pi_1 : x+y+z-6=0$
$\pi_2 : x+y+z=0$
La distanza è quindi:
$d(r,s)=d(\pi_1,\pi_2)=|d_1-d_2|/sqrt(a_1^2*a_2^2+b_1^2*b_2^2+c_1^2*c_2^2)=|-6|/sqrt (1+1+1)=6/sqrt (3)=2sqrt(3)$
Con questo finisce il primo punto dell'esercizio(il secondo punto non l'ho messo perché non si possono fare due esercizi in una stessa discussione, se trovo qualche dubbio anche nel secondo punto riposterò l'esercizio in una discussione nuova linkando a questa discussione)
Ditemi se ho sbagliato qualcosa o qualche passaggio e conti vari. Grazie!
Penso che il procedimento sia giusto, ma hai sbagliato i parametri direttori. Ricordati che sono i minori a segno alterno, quindi $m = -detM$, dunque le m di entrambe le rette ti escono positive. Se rifai i calcoli con i coefficienti direttori giusti, dovrebbe uscirti $\sqrt10$
Oh giusto! Grazie!
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