Esercizio di esame ingegneria

[Adriano Romanista]

(1)Dati nel piano tre punti P1=(x1,y1), P2=(x2,y2), P3=(x3,y3) dimostrare che essi sono allineati \$hArr\$ \$|(x1,y1,1),(x2,y2,1),(x3,y3,1)|\$ = 0
(2) Sia data la circonferenza c di equazione: x^2+y^2-6x+8y+21=0
(a)Trovare le coordinate dei vertici del quadrato q inscritto in c e avente un vertice nel punto P1=(3,-2).
(b)Calcolare l'area del quadrato q e l'equazione della circonferenza in esso inscritta.

Potreste aiutarmi a risolverlo? Grazie

[minomic]

Ciao e benvenuto nel forum.
Come hai pensato di impostarlo? Quali tentativi hai fatto o quali idee hai avuto?

[Adriano Romanista]

Allora, tre punti se sono allineati vuol dire che appartengono ad una stessa retta ma non so come dimostrarlo dato che non conosco le loro coordinate. Per trovare i vertici del quadrato ho pensato di trovare i punti di intersezione prima tra circonferenza e retta di equaz. x=3 e poi tra circonferenza e retta y=-2 trovando csì altri due vertici e poi ho pensato di procedere sempre in questa direzione per trovare anche il quarto vertice. Per il resto purtroppo non so trovare una soluzione

[Adriano Romanista]

Ah grazie per il benvenuto

[minomic]

Prendiamo il primo: tre punti $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ sono allineati se$$
\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{y_3-y_2}{x_3-x_2} \qquad \mbox{(coefficienti angolari)}
$$Sviluppiamo la relazione e troviamo$$
(y_2-y_1)(x_3-x_2)=(y_3-y_2)(x_2-x_1) \longrightarrow ... \longrightarrow x_1y_2 + x_3y_1 + x_2y_3 - x_3y_2 - x_1y_3 - x_2y_1 = 0
$$ma questo è esattamente quello che trovi imponendo$$
\det\left(\begin{matrix}
x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1
\end{matrix}\right) = 0
$$quindi la dimostrazione è completa.

[Adriano Romanista]

Grazie tante per la disponibilita

[minomic]

Per quanto riguarda l'esercizio 2 la tua idea di utilizzare la retta $y=-2$ non funziona visto che risulta tangente alla circonferenza mentre l'idea di tracciare $x=3$ è corretta! Comunque posto un'immagine che vale più di tante spiegazioni.

[Adriano Romanista]

grazie

[minomic]

"Adriano Romanista":grazie

Prego!