Esercizio di diagonalizzazione quasi risolto

[mulo1990]

Sia $ a in RR $ e sia
M = $ ( ( 2a , 3a-1 , 1-a ),( 0 , 1-a , a-1 ),( 0 , 0 , a+1 ) ) $
M è diagonalizzabile :
1) se e solo se $ a != -1 $
2) se e solo se $ a != 0, 1/3 $
3) se e solo se $ a != 0 $
4) nessuna delle altre risposte
5) se e solo se $ a != 0, -1 $

Io sono andato avanti cosi:

$ |M-tI| $ = $ | ( 2a-t , 3a-1 , 1-a ),( 0 , 1-a-t , a-1 ),( 0 , 0 , a+1-t ) | $

Pongo $ |M-tI| = 0 $

Quindi: $ (2a-t) (1-a-t) (a+1-t) = 0 $

Da cui: $ t=0 $ e quindi pongo
$ 2a = 0 $ $ rarr $ $ a = 0 $
$ 1-a = 0 $ $ rarr $ $ a = 1 $
$ a+1 = 0 $ $ rarr $ $ a = -1 $

Sostituisco ora nella matrice al posto di t, 0 e al posto di a, 0 succesivamente 1 e poi -1.

Ottengo: $ ( ( 0 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ $ rarr $ $ ( ( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ $ rarr $ $ n-r = 3-2 = 1 $

$ ( ( 2 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ $ rarr $ $ ( ( 2 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ $ rarr $ $ n-r = 3-2 = 1 $

$ ( ( -2 , -4 , 2 ),( 0 , 2 , -2 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ $ rarr $ $ ( ( -2 , -4 , 2 ),( 0 , 2 , -2 ) ) $ $ rarr $ $ n-r = 3-2 = 1 $

Con le soluzioni che ho trovato non riesco a capire quale è la risposta giusta delle 5, lo so che sembra strano ma sono entrato nel pallone!

Grazie

[walter891]

innanzitutto la matrice è triangolare quindi per trovare gli autovalori puoi evitare il calcolo del determinante
devi soltanto stabilire se gli autovalori (dipendenti da $a$) sono regolari o meno in base al valore di $a$

[^Tipper^1]

Gli autovalori sono $\{(lambda_1=2a),(lambda_2=1-a),(lambda_3=a+1):}$

Se $lambda_1=lambda_2$ si ha che $a=1/3$. Se $a=1/3 -> lambda=2/3$ è doppio.

$dimV_(2/3)=3-rg((0,0,2/3),(0,0,-2/3),(0,0,2/3))$

Continua tu.

[mulo1990]

Risolta e mi torna la risposta numero 3, avevo sbagliato tutto!
Grazie