Esercizio di algebra sugli insiemi ortogonali e basi ortogonali

[robertstein1]

Ciao, ho questo esercizio che non riesco proprio a metterci sopra le mani, potreste aiutarmi e spiegarmi il procedimento? grazie in anticipo

Dato il vettore v= (1,1,0,2) di R^4 , determinare:
a) L’insieme S dei vettori di R^4 ortogonali a v;
b) Una base ortogonale B di R^4 contenente il vettore v, spiegare poi perché B è una base di R^4.

[cooper1]

allora per il primo punto sai che due vettori sono tra loro ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo. imponiamo quindi questa condizione supponendo l'usuale prodotto scalare di $RR^n$
$ x x'+y y'+z z'+ t t'=0 $
adesso sappiamo che $ v=(x,y,z,t)=(1,1,0,2) $ sostituendo otteniamo che $ x'+y'+2t'=0 $
risolvendo il sistema (con $y',z',t' in RR$) si ha $ x'=-y'-2t' $ per cui $ S={v in RR^4 : [x'=-y'-2t] ^^ [y',z',t' in RR]} $

per il punto b) io mi inventerei altri 3 vettori della forma data in $S$ che siano linearmente indipendenti.