Esercizio di Algebra lineare!Aiuto!
Ciao a tutti! Torno a proporvi un esercizio di algebra lineare che non ho capito. 
Vi scrivo il testo:
Sia $\alpha$ la trasformazione lineare di $V_3(R)$ in sè rappresentata dalla seguente matrice ( rispetto ai versori di $V_3(R)$):
$[[1,0,1],[0,1,1],[1,1,1]]$
Inoltre, sempre in $V_3(R)$, sia $\beta$ la riflessione attorno al piano di equazione $x_1 + x_2 + x_3 = 0$.
Mi vengono richieste le solite cose standard, tipo nullità e rango di $\beta$ e $\alpha$, ma il problema principale è che proprio non ho capito come rappresentare e soprattutto che significa questa "riflessione". Un punto dell'esercizio proprio mi richiede di rappresentare $\beta$ rispetto ai versori.
Chi mi illumina???????
Vi scrivo il testo:Sia $\alpha$ la trasformazione lineare di $V_3(R)$ in sè rappresentata dalla seguente matrice ( rispetto ai versori di $V_3(R)$):
$[[1,0,1],[0,1,1],[1,1,1]]$
Inoltre, sempre in $V_3(R)$, sia $\beta$ la riflessione attorno al piano di equazione $x_1 + x_2 + x_3 = 0$.
Mi vengono richieste le solite cose standard, tipo nullità e rango di $\beta$ e $\alpha$, ma il problema principale è che proprio non ho capito come rappresentare e soprattutto che significa questa "riflessione". Un punto dell'esercizio proprio mi richiede di rappresentare $\beta$ rispetto ai versori.
Chi mi illumina???????
Risposte
ciao,
visto che siamo in dimensione 3 chiamiamo le coordinate $(x,y,z)$ per non avere indici
poi partiamo da una cosa semplice. la matrice che rappresenta la riflessione del piano $z=0$ è ovviamente data
$M=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$ cioè prende ogni vettore di coordinate $(x,y,z)$ e lo manda in $(x,y,-z)$ quindi lascia invariati tutti i punti del piano $z=0$ ok?
adesso visto che la riflessione rispetto a questo particolare piano si riesce ad esprimere in maniera semplice, devi semplicemente fare in questo modo:
dato il tuo piano $x+y+z=0$ determini il versore normale ad esso che risulta essere $u=(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$
determini dunque altri due versori $p$ e $q$ tali che $p,q,u$ siano una base ortonormale fatto questo hai che la matrice
$A$ le cui colonne sono esattamente i vettori $p$ $q$ ed $u$ è una matrice ortogonale che manda i vettori della base canonica $e_{1},e_{2},e_{3}$ rispettivamente in $p$, $q$ ed $u$ dunque la riflessione che cerchi è quella che è rappresentata dalla matrice
$B=AMA^{t}$ dove $A^{t}$ è la trasposta di $A$ che coincide con l'inversa di $A$ in quanto $A$ è ortogonale.
In soldoni cosa ho fatto? Ho trovato un sistema di riferimento ortonormale partendo dal piano dato, a quel punto ho trasportato tale sistema ortonormale nel sistema ortonormale dato dalla base canonica poi ho effettuato la riflessione in tale sistema di riferimento e poi mi sono ritrasportato nel sistema di riferimento ortonormale da cui ero partito.
ciao e a presto
visto che siamo in dimensione 3 chiamiamo le coordinate $(x,y,z)$ per non avere indici
poi partiamo da una cosa semplice. la matrice che rappresenta la riflessione del piano $z=0$ è ovviamente data
$M=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$ cioè prende ogni vettore di coordinate $(x,y,z)$ e lo manda in $(x,y,-z)$ quindi lascia invariati tutti i punti del piano $z=0$ ok?
adesso visto che la riflessione rispetto a questo particolare piano si riesce ad esprimere in maniera semplice, devi semplicemente fare in questo modo:
dato il tuo piano $x+y+z=0$ determini il versore normale ad esso che risulta essere $u=(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$
determini dunque altri due versori $p$ e $q$ tali che $p,q,u$ siano una base ortonormale fatto questo hai che la matrice
$A$ le cui colonne sono esattamente i vettori $p$ $q$ ed $u$ è una matrice ortogonale che manda i vettori della base canonica $e_{1},e_{2},e_{3}$ rispettivamente in $p$, $q$ ed $u$ dunque la riflessione che cerchi è quella che è rappresentata dalla matrice
$B=AMA^{t}$ dove $A^{t}$ è la trasposta di $A$ che coincide con l'inversa di $A$ in quanto $A$ è ortogonale.
In soldoni cosa ho fatto? Ho trovato un sistema di riferimento ortonormale partendo dal piano dato, a quel punto ho trasportato tale sistema ortonormale nel sistema ortonormale dato dalla base canonica poi ho effettuato la riflessione in tale sistema di riferimento e poi mi sono ritrasportato nel sistema di riferimento ortonormale da cui ero partito.
ciao e a presto
Scusa, ma non riesco a capire semplicemente in via teorica... Mi potresti fare un esempio pratico??
d'accordo prendiamo il tuo esempio.
vogliamo calcolare la matrice che rappresenta la riflessione rispetto al piano $x+y+z=0$.
Partiamo:
prendiamo un vettore che sia normale al piano... e sicuramente lo è il vettore $v=(1,1,1)$ e normalizzando otteniamo
$u=(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$.
adesso dobbiamo costruire a partire da $u$ altri due vettori $p$ e $q$ sempre di norma uno tali che $p,q,u$ formino una base ortonormale di $RR^{3}$ ok?
adesso dato un vettore $w=(x,y,z)$ sicuramente il vettore $s=(yz,xz,-2xy)$ è ortogonale a $w$.
quindi $p=(\sqrt{6}/6,\sqrt{6}/6,-\sqrt{6}/3)$. a questo punto per trovare $q$ basta fare il prodotto vettoriale tra $p$ e $u$ e ottieni $q=(\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2,0)$. e a questo punto hai finito in quanto mettendo per colonne i vettori $p,q,u$ ottieni una matrice ortogonale $A$ tale che le immagini dei vettori della base canonica cioè $b=(1,0,0)$ $c=(0,1,0)$ e $d=(0,0,1)$, tramite $A$ sono rispettivamente $p$ $q$ e $u$ ,cioè
$Ab=p$, $Ac=q$ e $Ad=u$.
e quindi adesso basta fare la seguente moltiplicazione matriciale $AMA^{t}$
in quanto applicando prima $A^{t}$ ti porti nel sistema di riferimento della base $b,c,d$ a questo punto su questo sistema di riferimento operi la riflessione rispetto al piano $z^{'}=0$ facendo la moltiplicazione per $M$ (dove $x^{'},y^{'},z^{'}$ sono le coordinate nella base b,c,d)
e dopo riporti tutto nel riferimento $p,q,u$ moltiplicando per $A$.
ciao
vogliamo calcolare la matrice che rappresenta la riflessione rispetto al piano $x+y+z=0$.
Partiamo:
prendiamo un vettore che sia normale al piano... e sicuramente lo è il vettore $v=(1,1,1)$ e normalizzando otteniamo
$u=(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$.
adesso dobbiamo costruire a partire da $u$ altri due vettori $p$ e $q$ sempre di norma uno tali che $p,q,u$ formino una base ortonormale di $RR^{3}$ ok?
adesso dato un vettore $w=(x,y,z)$ sicuramente il vettore $s=(yz,xz,-2xy)$ è ortogonale a $w$.
quindi $p=(\sqrt{6}/6,\sqrt{6}/6,-\sqrt{6}/3)$. a questo punto per trovare $q$ basta fare il prodotto vettoriale tra $p$ e $u$ e ottieni $q=(\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2,0)$. e a questo punto hai finito in quanto mettendo per colonne i vettori $p,q,u$ ottieni una matrice ortogonale $A$ tale che le immagini dei vettori della base canonica cioè $b=(1,0,0)$ $c=(0,1,0)$ e $d=(0,0,1)$, tramite $A$ sono rispettivamente $p$ $q$ e $u$ ,cioè
$Ab=p$, $Ac=q$ e $Ad=u$.
e quindi adesso basta fare la seguente moltiplicazione matriciale $AMA^{t}$
in quanto applicando prima $A^{t}$ ti porti nel sistema di riferimento della base $b,c,d$ a questo punto su questo sistema di riferimento operi la riflessione rispetto al piano $z^{'}=0$ facendo la moltiplicazione per $M$ (dove $x^{'},y^{'},z^{'}$ sono le coordinate nella base b,c,d)
e dopo riporti tutto nel riferimento $p,q,u$ moltiplicando per $A$.
ciao
Grazie, sei davvero gentile! Adesso mi è più chiaro! A presto!
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