Esercizio di algebra lineare_ endomorfismi
ciao.. ci servirebbe un aiutino per qst esercizio di geomtria...... XD
Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione n e sia W un sottospazio vettoriale di V con dimensione $p>= 1$ .
Sia E= [ f $in$ End(V) | $EE$ $\lambda$ $in$ K tale che W $sube$ V($\lambda$,f)], dove V($\lambda$,f) denota l'autospazio per f relativo all'autovalore $\lambda$.
E è un sottospazio vettoriale di End(V) (già dimostrato). Qual è la dimensione di E??
grazie
ciaociao
Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione n e sia W un sottospazio vettoriale di V con dimensione $p>= 1$ .
Sia E= [ f $in$ End(V) | $EE$ $\lambda$ $in$ K tale che W $sube$ V($\lambda$,f)], dove V($\lambda$,f) denota l'autospazio per f relativo all'autovalore $\lambda$.
E è un sottospazio vettoriale di End(V) (già dimostrato). Qual è la dimensione di E??
grazie
ciaociao
Risposte
up!
Provo a dirti come penso si possa risolvere io.
Sia $(v_1,---,v_p)$ base di W, completiamola ad una base di W:
$(v_1,---,v_p,v_(p+1),....,v_n)$
Noi cerchiamo tutte quelle funzioni tale che hanno W incluso in uno degli autospazi:
Intanto ci sono tutte le identità di ordine da n a p compreso, cioè tutte le funzioni espresse da matrici diagonali con almeno i primi p vettori tutti relativi ad un solo autospazio, ovvero tutte le funzioni rappresentate da una matrice con le prime p righe e p colonne con sulla diagonale lo stesso numero e il resto 0, cioè le funzioni che ristrette a p danno l'identità, e
Una base di questo spazio di matrici è data dalle matrici fatte così (per comodità prendo uno spazio di dimensione 4, e un sottospazio W di dimensione 2, così capisci meglio):
$[(a,0,b,c),(0,a,x,y),(0,0,z,t),(0,0,u,w)]$ ecc ecc. Sono sicuro che hai capito.
Ora questo sottospazio vettoriale ha come base di sicuro le funzioni nulle a meno che ristrette a p, dove sono l'identità, cioè ogni matrice che è l'identità sulle prime p righe e colonne e fuori è nulla.
Oltre a queste quali dobbiamo aggiungere? Tutte le funzioni rappresentate da matrici che hanno il nucleo di almeno p vettori. Cioè, sempre sull'esempio di prima:
$[(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,0)]$ , $[(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0)]$, $[(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,1,0)]$ , $[(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1)]$ ecc ecc, credo tu abbia capito
Queste matrici ti convincerai facilmente che sono in un sottospazio di dimensione $n(n-p-1)$ (è l'area del rettangolo generato dalle colonne dalla p+1 alla n.)
Esistono altre matrici che appartengono a tale sottospazio vettoriale? Dunque se n è una matrice che soddisfa la condizione di E ma non appartiene alle matrici già trovate allora non può che essere o una matrice con un nucleo che non contiene tutto W, e quindi non può appartenere a E, oppure una matrice che, per quanto riguarda le prime p colonne non è un multiplo dell'identità, ovvero ha qualche vettore che non è autovettore, quindi la funzione non ha tutto W in un suo autospazio, oppure ha per il sottospazio w tutti autovalori, ma non relativi allo stesso autospazio, e quindi w non appartiene a nessun autospazio.
Quindi la dimensione di questo sottospazio dovrebbe essere (a meno di errori, o di qualche matrice sfuggita)
$dim E= 1+n(n-p-1)$
(Vediamo se ho ecceduto la dimensione di n:
$1 + n(n-p-1) < n -> 1 +n^2 -np -n< n -> 1-np< n(2-n)$ ora $1-np< 1-n^2$ ovvero $1-n^2< 2n - n^2 -> 1 < 2n$ sempre.)
Sia $(v_1,---,v_p)$ base di W, completiamola ad una base di W:
$(v_1,---,v_p,v_(p+1),....,v_n)$
Noi cerchiamo tutte quelle funzioni tale che hanno W incluso in uno degli autospazi:
Intanto ci sono tutte le identità di ordine da n a p compreso, cioè tutte le funzioni espresse da matrici diagonali con almeno i primi p vettori tutti relativi ad un solo autospazio, ovvero tutte le funzioni rappresentate da una matrice con le prime p righe e p colonne con sulla diagonale lo stesso numero e il resto 0, cioè le funzioni che ristrette a p danno l'identità, e
Una base di questo spazio di matrici è data dalle matrici fatte così (per comodità prendo uno spazio di dimensione 4, e un sottospazio W di dimensione 2, così capisci meglio):
$[(a,0,b,c),(0,a,x,y),(0,0,z,t),(0,0,u,w)]$ ecc ecc. Sono sicuro che hai capito.
Ora questo sottospazio vettoriale ha come base di sicuro le funzioni nulle a meno che ristrette a p, dove sono l'identità, cioè ogni matrice che è l'identità sulle prime p righe e colonne e fuori è nulla.
Oltre a queste quali dobbiamo aggiungere? Tutte le funzioni rappresentate da matrici che hanno il nucleo di almeno p vettori. Cioè, sempre sull'esempio di prima:
$[(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,0)]$ , $[(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0)]$, $[(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,1,0)]$ , $[(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1)]$ ecc ecc, credo tu abbia capito
Queste matrici ti convincerai facilmente che sono in un sottospazio di dimensione $n(n-p-1)$ (è l'area del rettangolo generato dalle colonne dalla p+1 alla n.)
Esistono altre matrici che appartengono a tale sottospazio vettoriale? Dunque se n è una matrice che soddisfa la condizione di E ma non appartiene alle matrici già trovate allora non può che essere o una matrice con un nucleo che non contiene tutto W, e quindi non può appartenere a E, oppure una matrice che, per quanto riguarda le prime p colonne non è un multiplo dell'identità, ovvero ha qualche vettore che non è autovettore, quindi la funzione non ha tutto W in un suo autospazio, oppure ha per il sottospazio w tutti autovalori, ma non relativi allo stesso autospazio, e quindi w non appartiene a nessun autospazio.
Quindi la dimensione di questo sottospazio dovrebbe essere (a meno di errori, o di qualche matrice sfuggita)
$dim E= 1+n(n-p-1)$
(Vediamo se ho ecceduto la dimensione di n:
$1 + n(n-p-1) < n -> 1 +n^2 -np -n< n -> 1-np< n(2-n)$ ora $1-np< 1-n^2$ ovvero $1-n^2< 2n - n^2 -> 1 < 2n$ sempre.)
mmm, certo anch'io a tornare qui all'una di notte... domani mattina cerco di capirci qualcosa ^^
Grazie!
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