Esercizio di algebra lineare (costruzione di applicazioni)
Sia $f(x,y,z) = (x+3y+2z, 2x-z, -x+3y+3z, 3x+3y+z)$
e sia $U = Span ((1,2,1)) $ in $RR^3$
Costruire $g:RR^4 => RR^3$ lineare tale che g composto f sia il vettore nullo e $Img = U$
Allora la matrice associata ad f è $((1,3,2), (2,0,-1),(-1,3,3),(3,3,1))$ e una base dell'immagine di tale funzione è $((1,2),(2,0),(-1,3),(3,3))$
Dal momento che la composizione di due funzioni equivale al prodotto delle matrice associate nell'ordine della composizione, allora ho notato che, visto che l'immagine di g deve essere U e che questo prodotto deve far 0 ho provato a costruire una matrice tale che moltiplicata a sinistra per la matrice di f sia 0, ma non mi riesce, anzi lo ritengo impossibile dal momento che se U appartiene a g quando vado a moltiplicare la colonna da lui generata non sarà mai nulla... aiutatemi per favore (e già che ci siete potreste dirmi come scrivere il simbolo di composizione e quelli di inclusione e di appartenenza? grazie)
e sia $U = Span ((1,2,1)) $ in $RR^3$
Costruire $g:RR^4 => RR^3$ lineare tale che g composto f sia il vettore nullo e $Img = U$
Allora la matrice associata ad f è $((1,3,2), (2,0,-1),(-1,3,3),(3,3,1))$ e una base dell'immagine di tale funzione è $((1,2),(2,0),(-1,3),(3,3))$
Dal momento che la composizione di due funzioni equivale al prodotto delle matrice associate nell'ordine della composizione, allora ho notato che, visto che l'immagine di g deve essere U e che questo prodotto deve far 0 ho provato a costruire una matrice tale che moltiplicata a sinistra per la matrice di f sia 0, ma non mi riesce, anzi lo ritengo impossibile dal momento che se U appartiene a g quando vado a moltiplicare la colonna da lui generata non sarà mai nulla... aiutatemi per favore (e già che ci siete potreste dirmi come scrivere il simbolo di composizione e quelli di inclusione e di appartenenza? grazie)
Risposte
Non so se sia impossibile: quello che devi fare in realtà è questo -
tu vuoi che $g\circf$ (\$g \circ f\$) sia l'applicazione nulla, ovvero che $im\ f\subker\ g$ (\$im\ f \sub ker\ g\$), e che $im\ g\=U$. Quindi tu sai quali vettori $g$ deve annullare e quali deve mandare in $U$. Da qua dovresti riuscire a determinare $g$.
tu vuoi che $g\circf$ (\$g \circ f\$) sia l'applicazione nulla, ovvero che $im\ f\subker\ g$ (\$im\ f \sub ker\ g\$), e che $im\ g\=U$. Quindi tu sai quali vettori $g$ deve annullare e quali deve mandare in $U$. Da qua dovresti riuscire a determinare $g$.
Eh sì è proprio vero...curioso mi sembrava un problema difficilissimo invece era una cavolata... scusate XD
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