Esercizio di algebra lineare. (ancora...)

[klarence1]

Data la matrice

A= 1 1 (non so scrivere la matrice perciò l'ho scritta così)
---1 0

Considera l'applicazione $T: M_(2,2)->M_(2,2)$ data da $T(X)=AX-XA$. Dimostra che $T$ è lineare, calcola $KerT$ e $ImT$ e dimostra che $KerT$ e $ImT$ sono in somma diretta.
Sono riuscito a dimostrare solo che $T$ è lineare, sugli altri due punti ho difficoltà perchè quando calcolo il $kerT$ il risultato è in contrasto con quello che dovrebbe essere il $KerT$ per la dimostrazone della somma diretta.
Aiuti per la seconda e la terza richiesta?
Grazie.

[fu^2]

te sai che dimkerT+dimimT=dimM_2,2

visto che giochi con un isomorfismo - il ker e l'immagine non possono avere intersezione diversa dal sottospazio vettoriale nullo per come sono definite... e quindi, essendo che han grandezze uguali - la loro somma diretta genera M_2,2

purtroppo non so ancora fare XA, quindi operativamente per calcolare il ker non posso ancora aiutarti

[Pappus]

beh calcolare il nucleo non è difficile, A la conosci, poni X come
( a b )
( c d )
risolviti il sistema, e calcola la dimensione.

[klarence1]

"Pappus":beh calcolare il nucleo non è difficile, A la conosci, poni X come
( a b )
( c d )
risolviti il sistema, e calcola la dimensione.

Non riesco a calcolare la dimensione..... o meglio quello che mi viene e' in contrasto col fatto che ker e immagine dovrebbero essere in somma diretta....

[Pappus]

ciao, mi sono accorto che ci volevano piu' conti di quanto credessi, almeno per la strada che ho scelto io. cerca la forma generale di una matrice nel nucleo, cioe' poni X=(a b; c d) e risolvi AX-XA=0, ottenendo un sistema. Se vuoi vedere che ker e im sono in somma diretta, scegli L nell'intersezione di ker e im, sicche' esiste B=(e f; g h) con T(B)=L=AB-BA. Adesso T(L)=0 perche' e' nel ker, cosi' AL-LA=0. Cosi' $A^2 B-2ABA+B A^2=0$. risolvi con il metodo di gauss in e f g h, ottenendo la matrice nulla, o almeno cosi' ho ottenuto io se non ho sbagliato i conti. infine L e' la matrice nulla.
ti prego pero' di verificare i conti perche' li ho fatti in fretta.
ciao

[Camillo]

Se non ho sbagliato i conti si ha che $ker(T) =[(a,b),(b,a-b)] $.
Inoltre $ dim ker(T) = 2 $ ; una base di $ ker (T) =[(1,0),(0,1)],[(0,1),(1,-1)] $.
Si ha : $Dim Im (T)=4-2=2$.

[miuemia]

anche a me viene così...adesso si deve solo dimostrare che l'intersezioine è il vettore nullo ma mi sembra immediato