Esercizio di Algebra Lineare
Salve a tutti.
Sto incontrando difficolta' ad approcciarmi al seguente esercizio:
Sia $W\ne{0}$ un sottospazio vettoriale di $V=M_{n}(\mathbb{K})$ che ha la seguente proprieta':
se $A\in W \Rightarrow AB\inW$ e $BA\inW \ \ \ \ \forall B\in V$
Si dimostri che:
1)$\exists r>=1 (\in \mathbb{N}) $ t.c. $$J_{r}=\begin{pmatrix} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ (matrice a blocchi) appartenga a $W$;
2)$W=V$.
Cosa ho fatto io:
Ho fatto diversi smanettamenti, ho provato a farlo in dimensione 2 (non ci sono arrivato lo stesso). Poi ho pensato di risolvere il primo punto per assurdo non vedendo altre strade banali, cosi' ho detto:
supponiamo per assurdo che non esista $r>=1$ tale che $J_{r}$ sia in $W$. Preso un qualsiasi $A\in W$ ho diverse cose:
$AJ_{r}\in W$;
$J_{r}A\in W$;
$AJ_{r}+J_{r}A\in W$;
$(AJ_{r})^2\in W$;
$(AJ_{r})(J_{r}A)=AJ_{r}A\in W$;
Ma non mi viene in mente nessuna idea su come usarli. Aiutatemi per favore. grazie in anticipo
Sto incontrando difficolta' ad approcciarmi al seguente esercizio:
Sia $W\ne{0}$ un sottospazio vettoriale di $V=M_{n}(\mathbb{K})$ che ha la seguente proprieta':
se $A\in W \Rightarrow AB\inW$ e $BA\inW \ \ \ \ \forall B\in V$
Si dimostri che:
1)$\exists r>=1 (\in \mathbb{N}) $ t.c. $$J_{r}=\begin{pmatrix} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ (matrice a blocchi) appartenga a $W$;
2)$W=V$.
Cosa ho fatto io:
Ho fatto diversi smanettamenti, ho provato a farlo in dimensione 2 (non ci sono arrivato lo stesso). Poi ho pensato di risolvere il primo punto per assurdo non vedendo altre strade banali, cosi' ho detto:
supponiamo per assurdo che non esista $r>=1$ tale che $J_{r}$ sia in $W$. Preso un qualsiasi $A\in W$ ho diverse cose:
$AJ_{r}\in W$;
$J_{r}A\in W$;
$AJ_{r}+J_{r}A\in W$;
$(AJ_{r})^2\in W$;
$(AJ_{r})(J_{r}A)=AJ_{r}A\in W$;
Ma non mi viene in mente nessuna idea su come usarli. Aiutatemi per favore. grazie in anticipo
Risposte
Un'idea per il primo punto: esiste almeno una matrice $A$ di rango $r\ge 1$ contenuta in $W$, e questo significa (teorema di nullità più rango sull'applicazione $x\mapsto Ax$) che esiste una base $v_i$ di $\mathbb{K}^n$ tale che $Av_i$ è diverso dal vettore nullo se e solo se $1\le i\le r$.
Considera la matrice $B\in V$ tale che $Be_i = v_i$, dove $\{e_i\}$ è la base canonica di $\mathbb{K}^n$. Allora $ABe_i$ è diverso dal vettore nullo se e solo se $1\le i\le r$. Riesci a trovare una matrice $C$ che rimanda il vettore $ABe_i$ in $e_i$ quando $1\le i\le r$? Se sì, com'è fatta la matrice $CAB\in W$?
Per il secondo punto: considera che se $J_r$ sta in $W$ allora stanno in $W$ tutte le matrici diagonali che hanno $r$ entrate della diagonale principale uguali a $1$ e le altre uguali a $0$ (per scambiare tra loro la colonna $i$-esima e la colonna $j$-esima di $A$ basta fare il prodotto $A\cdot I_{ij}$, dove $I_{ij}$ è la matrice che ottieni scambiando tra loro la $i$-esima e la $j$-esima colonna della matrice identità). Sommandole tutte insieme...
Considera la matrice $B\in V$ tale che $Be_i = v_i$, dove $\{e_i\}$ è la base canonica di $\mathbb{K}^n$. Allora $ABe_i$ è diverso dal vettore nullo se e solo se $1\le i\le r$. Riesci a trovare una matrice $C$ che rimanda il vettore $ABe_i$ in $e_i$ quando $1\le i\le r$? Se sì, com'è fatta la matrice $CAB\in W$?
Per il secondo punto: considera che se $J_r$ sta in $W$ allora stanno in $W$ tutte le matrici diagonali che hanno $r$ entrate della diagonale principale uguali a $1$ e le altre uguali a $0$ (per scambiare tra loro la colonna $i$-esima e la colonna $j$-esima di $A$ basta fare il prodotto $A\cdot I_{ij}$, dove $I_{ij}$ è la matrice che ottieni scambiando tra loro la $i$-esima e la $j$-esima colonna della matrice identità). Sommandole tutte insieme...
Grazie mille.
Alla fine sono riuscito a risolverlo. Ho chiesto ad un collega che infatti mi ha suggerito praticamente la tua stessa idea. Solo che visto che anche a te è venuta la stessa idea sul punto 1), non riesco a capire cosa doveva spingermi a usare quel trucchetto di scrivere la matrice in un completamento della base del ker.
Perciò (pura curiosità) hai avuto questa idea perchè è una idea che DEVE venire in mente appena leggi la traccia, oppure avevi già visto qualcosa di simile in un'altra forma? Perchè nel primo caso dovrei iniziare a preoccuparmi della qualità del mio studio della teoria.
Alla fine sono riuscito a risolverlo. Ho chiesto ad un collega che infatti mi ha suggerito praticamente la tua stessa idea. Solo che visto che anche a te è venuta la stessa idea sul punto 1), non riesco a capire cosa doveva spingermi a usare quel trucchetto di scrivere la matrice in un completamento della base del ker.
Perciò (pura curiosità) hai avuto questa idea perchè è una idea che DEVE venire in mente appena leggi la traccia, oppure avevi già visto qualcosa di simile in un'altra forma? Perchè nel primo caso dovrei iniziare a preoccuparmi della qualità del mio studio della teoria.
La soluzione che ti proponevo mi è venuta in mente pensando che in generale due applicazioni lineari $f,g : \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m$ di uguale rango possono essere rappresentate con la stessa matrice rispetto a due diverse coppie di basi per lo spazio di partenza e lo spazio di arrivo.
È una cosa che ci era stato chiesto di dimostrare per conto nostro a margine di una lezione di geometria, quindi ho pensato a quella soluzione perché ricalcava la dimostrazione che avevo fatto, ma non so quanto dovrebbe venire spontaneo altrimenti andare a parare su quello
È una cosa che ci era stato chiesto di dimostrare per conto nostro a margine di una lezione di geometria, quindi ho pensato a quella soluzione perché ricalcava la dimostrazione che avevo fatto, ma non so quanto dovrebbe venire spontaneo altrimenti andare a parare su quello
Volevo solo aggiungere che le proprieta' di $W$ dicono
esattamente che $W$ e' un ideale bilaterale di $M_n(k)$.
E' ben noto che per un campo $k$ l'algebra $M_n(k)$ e' semplice.
Cioe', $M_n(k)$ non contiene alcun ideale bilaterale proprio
(http://it.wikipedia.org/wiki/Algebra_semplice).
E quindi, se $W!=0$ abbiamo che $W=V$.
esattamente che $W$ e' un ideale bilaterale di $M_n(k)$.
E' ben noto che per un campo $k$ l'algebra $M_n(k)$ e' semplice.
Cioe', $M_n(k)$ non contiene alcun ideale bilaterale proprio
(http://it.wikipedia.org/wiki/Algebra_semplice).
E quindi, se $W!=0$ abbiamo che $W=V$.
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