Esercizio di algebra lineare
Il testo è il seguente:
Sia F: $ R^3-> R^3 $ l'endomorfismo definito da F((a,b,c))=(2a-b-3c, 4b-c, 3c)
F è diagonalizzabile Nel caso in cui lo sia determinare due basi distinte di $ R^3 contenente autovettori di F. Determinare la matrice Mb(F) dove b={(1,1,0),(-1,1,0),(1,1,-1)}
il mio svolgimento è questo: intanto scrivo la matrice associata alla F e vedo che è già di per sè una matrice diagonale. poi scrivo la matrice MF-lambda I e pongo il determinante di questa matrice =0. In questo modo trovo tre autovalori cioè lambda1=2 , lambda2=4 , lambda=3 . per lambda1 l'autovettore che trovo è (1,0,0), per lambda2 è (1,-2,0) e per lambda3 è (1, -1/4, -1/4).
come basi scrivo base1: (1,0,0),(1,-2,0),(0,1,0)
come base 2: (1,-1/4,-1/4),(0,1,0),(1,0,0)
é tutto sbagliato vero? T.T
e per quanto riguarda l'ultima domanda del testo che devo fare?
GRAZIE INFINITE!
Sia F: $ R^3-> R^3 $ l'endomorfismo definito da F((a,b,c))=(2a-b-3c, 4b-c, 3c)
F è diagonalizzabile Nel caso in cui lo sia determinare due basi distinte di $ R^3 contenente autovettori di F. Determinare la matrice Mb(F) dove b={(1,1,0),(-1,1,0),(1,1,-1)}
il mio svolgimento è questo: intanto scrivo la matrice associata alla F e vedo che è già di per sè una matrice diagonale. poi scrivo la matrice MF-lambda I e pongo il determinante di questa matrice =0. In questo modo trovo tre autovalori cioè lambda1=2 , lambda2=4 , lambda=3 . per lambda1 l'autovettore che trovo è (1,0,0), per lambda2 è (1,-2,0) e per lambda3 è (1, -1/4, -1/4).
come basi scrivo base1: (1,0,0),(1,-2,0),(0,1,0)
come base 2: (1,-1/4,-1/4),(0,1,0),(1,0,0)
é tutto sbagliato vero? T.T
e per quanto riguarda l'ultima domanda del testo che devo fare?
GRAZIE INFINITE!
Risposte
la matrice associata ad F che hai trovato (è una triangolare superiore, non una diagonale) ha già sulla diagonale gli autovalori : non era quindi necessario ricalcolarli con la (MF-$\lambda$I).
Gli autovalori sono appunto: ( 2,4,3) e i corrispondenti autovettori: (1,0,0) , (1,-2,0) , (1,-1\4,-1\4).
La base 1 che scrivi non è formata da autovettori , come richiesto.
Base 1:(1,0,0) , (1,-2,0) , (1,-1\4,-1\4) (gli stessi autovettori trovati sopra.
Per la base 2 si possono prendere tre autovettori ottenuti dai precedenti moltiplicandoli per un fattori qualunque.
Es: base 2 = (2,0,0) , (2,-4,0) , (4,-1,-1)
Per l'ultima domanda devi semplicemente riguardare sul testo come si calcola la matrici con una nuova base:
nuova matrice B = $C^-1$AC , dove:
A= matrice associata alla F;
C = matrice avente per colonne le coordinate dei vettori della nuova base;
$C^-1$ = matrice inversa di C (da calcolare!)
C = $[(1,-1,1) , (1,1,1) , (0,0,-1)]$
Gli autovalori sono appunto: ( 2,4,3) e i corrispondenti autovettori: (1,0,0) , (1,-2,0) , (1,-1\4,-1\4).
La base 1 che scrivi non è formata da autovettori , come richiesto.
Base 1:(1,0,0) , (1,-2,0) , (1,-1\4,-1\4) (gli stessi autovettori trovati sopra.
Per la base 2 si possono prendere tre autovettori ottenuti dai precedenti moltiplicandoli per un fattori qualunque.
Es: base 2 = (2,0,0) , (2,-4,0) , (4,-1,-1)
Per l'ultima domanda devi semplicemente riguardare sul testo come si calcola la matrici con una nuova base:
nuova matrice B = $C^-1$AC , dove:
A= matrice associata alla F;
C = matrice avente per colonne le coordinate dei vettori della nuova base;
$C^-1$ = matrice inversa di C (da calcolare!)
C = $[(1,-1,1) , (1,1,1) , (0,0,-1)]$
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