Esercizio di Algebra
V={(1,0,-1,5)(1,1,1,0)(0,-2,-4,10)} che chiamerò rispettivamente v1,v2,v3
Wh={(x,y,z,t) x+2y+z=2x+y+2z=2x+4y+2z+ht=0}
Calcolare:Base BV? dim Wh,per ogni h?Base BWh per ongni h?Base BV+W0 (con parametro =0)? determinare i valori di h per i quali R^4=V+Wh (con + voglio indicare la somma diretta)? trovare i complementari di W0?
ragioniamo:
devo vedere innanzitutto se la combinazione lineare di v1,v2,v3 è =0.Poichè i primi due sono indipendenti allora posso verificare se la combinazione lineare di v1,v2=v3. Viene che sono legati e quindi la dimensione di BV e 2 e scelgo v1,v2.
semplificando il sistema per Wh, ottengo che per h=0 ho 2 parametri (z,t) liberi e quindi 2 dimensioni, per h diverso da 0,ho 1 parametro, quindi 1 dimensione. Perchè questo?me lo spiegate?
dovrebbe venire per h diverso da 0 BWh{(-1,0,1,0)}; per h=0 BW0{(-1,0,1,0)(0,0,0,1)}
la base BV+BW0 {(1,1,1,0)(-1,0,1,0)(0,0,0,1)}
mi aiutate a proseguire?
grazie
Wh={(x,y,z,t) x+2y+z=2x+y+2z=2x+4y+2z+ht=0}
Calcolare:Base BV? dim Wh,per ogni h?Base BWh per ongni h?Base BV+W0 (con parametro =0)? determinare i valori di h per i quali R^4=V+Wh (con + voglio indicare la somma diretta)? trovare i complementari di W0?
ragioniamo:
devo vedere innanzitutto se la combinazione lineare di v1,v2,v3 è =0.Poichè i primi due sono indipendenti allora posso verificare se la combinazione lineare di v1,v2=v3. Viene che sono legati e quindi la dimensione di BV e 2 e scelgo v1,v2.
semplificando il sistema per Wh, ottengo che per h=0 ho 2 parametri (z,t) liberi e quindi 2 dimensioni, per h diverso da 0,ho 1 parametro, quindi 1 dimensione. Perchè questo?me lo spiegate?
dovrebbe venire per h diverso da 0 BWh{(-1,0,1,0)}; per h=0 BW0{(-1,0,1,0)(0,0,0,1)}
la base BV+BW0 {(1,1,1,0)(-1,0,1,0)(0,0,0,1)}
mi aiutate a proseguire?
grazie
Risposte
ma è difficile?
dai, una piccola manina
up
Innanzitutto c'è un errore di fondo nel calcolo della base si Wh. Wh ha dim=2 indipendentemente da h. Nel caso generico dal sistema si ricava
x=-(h/3)t-z
y=-(h/3)
e quindi una base è
[ (-1,0,1,0) , (-(h/3),-(h/3),0,1) ]
che per h=0 diventa
[ (-1,0,1,0) , (0,0,0,1) ]
In fondo il risultato dev'essere per forza dim=2, in quanto altrimenti la somma tra v e Wh non potrebbe generare R^4.
Il risultato della base di V+W0 è dovuto al fatto che il vettore (1,0,-1,5) precedentemente trovato è comb. lin. degli altri tre. Prima di procedere riscrivo le basi trovate:
BWh=[ (-1,0,1,0) , (-(h/3),-(h/3),0,1) ]
BV= [ (1,0,-1,5) , (1,1,1,0) ]
Trovare i valori di h per i quali V+Wh genera R^4 significa trovare i valori di h per i quali questi vettori qui sopra sono indipententi. Per esempio potremmo porre che il vettore che dipende da h sia combinazione lineare degli altri tre secondo 3 coefficienti generici a,b,c.
Ne esce fuori un sistema dal quale si ricava che i coefficienti sono 1/5,0,1/5, e h=0. Il che significa che i 4 vettori sono dipendenti se e solo se h=0. Per qualsiasi altro valore di h essi generano R^4.
Per trovare i complementari di W0 in R^4 dobbiamo trovare altri due vettori indipendenti dai due vettori della base trovata per W0. Uno lo conosciamo, si tratta di v2, e come quarto vettore prendiamo (per semplicità) uno dei vettori della base canonica, (1,0,0,0).
Per verificare che sia indipendente dagli altri basta mettere i 4 vettori per colonna e calcolare il semplice determinante della matrice ottenuta, che è chiaramente diverso da 0. I due complementari sono quindi v2 e (1,0,0,0).
x=-(h/3)t-z
y=-(h/3)
e quindi una base è
[ (-1,0,1,0) , (-(h/3),-(h/3),0,1) ]
che per h=0 diventa
[ (-1,0,1,0) , (0,0,0,1) ]
In fondo il risultato dev'essere per forza dim=2, in quanto altrimenti la somma tra v e Wh non potrebbe generare R^4.
Il risultato della base di V+W0 è dovuto al fatto che il vettore (1,0,-1,5) precedentemente trovato è comb. lin. degli altri tre. Prima di procedere riscrivo le basi trovate:
BWh=[ (-1,0,1,0) , (-(h/3),-(h/3),0,1) ]
BV= [ (1,0,-1,5) , (1,1,1,0) ]
Trovare i valori di h per i quali V+Wh genera R^4 significa trovare i valori di h per i quali questi vettori qui sopra sono indipententi. Per esempio potremmo porre che il vettore che dipende da h sia combinazione lineare degli altri tre secondo 3 coefficienti generici a,b,c.
Ne esce fuori un sistema dal quale si ricava che i coefficienti sono 1/5,0,1/5, e h=0. Il che significa che i 4 vettori sono dipendenti se e solo se h=0. Per qualsiasi altro valore di h essi generano R^4.
Per trovare i complementari di W0 in R^4 dobbiamo trovare altri due vettori indipendenti dai due vettori della base trovata per W0. Uno lo conosciamo, si tratta di v2, e come quarto vettore prendiamo (per semplicità) uno dei vettori della base canonica, (1,0,0,0).
Per verificare che sia indipendente dagli altri basta mettere i 4 vettori per colonna e calcolare il semplice determinante della matrice ottenuta, che è chiaramente diverso da 0. I due complementari sono quindi v2 e (1,0,0,0).
X Addieco86 : sono un po' perplesso sulla tua soluzione del sistema .
Io ottengo :
*h div da 0
x = x
y=0
z= -x
t = 0/h = 0
quindi 1 variabile libera
* h=0
x=x
y=0
z=-x
t = t
quindi 2 variabili libere.
Camillo
Io ottengo :
*h div da 0
x = x
y=0
z= -x
t = 0/h = 0
quindi 1 variabile libera
* h=0
x=x
y=0
z=-x
t = t
quindi 2 variabili libere.
Camillo
In questo momento non posso ancora ricontrollare, non ho tempo, però posso dirti che se la soluzione fosse come hai detto tu la domanda successiva non avrebbe senso (per quali h la somma genera R^4), non pensi?
Ho ricontrollato e la tua soluzione del sistema non è corretta, prova a porre h = -9 ad es. e vedrai che non torna.
Ho ricontrollato anche la mia e mi sembra invece corretta.
Naturalmente questo comporta che :
* se h diverso da 0 :
DIM WH= 1 ; una base WH : (1,0,-1,0)
** se h = 0 :
DIM W0= 2 ; una base W0 = [(1,0,-1,0) ; (0,0,0,1)]
Camillo
Ho ricontrollato anche la mia e mi sembra invece corretta.
Naturalmente questo comporta che :
* se h diverso da 0 :
DIM WH= 1 ; una base WH : (1,0,-1,0)
** se h = 0 :
DIM W0= 2 ; una base W0 = [(1,0,-1,0) ; (0,0,0,1)]
Camillo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo