Esercizio: Determinare Kerf, Imf

[Black27]

Fra qualche giorno ho matematica discreta 1, sarò grato a chiunque mi darà una mano
Ecco l'esercizio e il mio tentativo di risolverlo:

Determinare, dopo aver trovato Kerf, Imf, se è iniettiva e se è suriettiva, giustificando la risposta.

f: $ RR 4 rarr RR 4 $

$ ( ( x1 ),( x2 ),( x3 ),( x4 ) ) rarr ( (2x1 - 2x2),(x2 - x3),(x1 + x2 - 2x3),(x2 + x3 - 2x4) ) $

Per trovare il Kerf, basta porre il sistema uguale a zero, e mi risulta

$ ( ( x1 = x3 ),( x2 = x3 ),( x1 = x3 ),( x4 = x3 ) ) $

E quindi il Ker è diverso da zero! (e non è iniettiva quindi).

Per trovare l'Imf, basta risolvere il sistema col metodo di Gauss e vedere quanti sono i pivot.

$ ( ( 2 , -2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 1 , 1 , -2 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , -2 ) ) $

$ ( ( 2 , -2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 0 , 2 , -5/2 , -1/2 ),( 0 , 1 , 1 , -2 ) ) $

$ ( ( 2 , -2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , -1/2 , -1/2 ),( 0 , 0 , 2 , -2 ) ) $

$ ( ( 2 , -2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , -1/2 , -1/2 ),( 0 , 0 , 0 , 4 ) ) $

I pivot sono quattro, quindi rgT = dimImf = 4.

Essendo quindi rgT = dimW = 4, allora l'applicazione è suriettiva!

In questo caso quindi mi trovo con un'applicazione lineare non iniettiva, ma suriettiva.
è giusto? O ho sbagliato qualche passaggio?

Grazie mille =)

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

[mod="Martino"]L'argomento che hai proposto e' di algebra lineare, non di algebra. Attenzione in futuro, grazie. Sposto.[/mod]

[^Tipper^1]

Le soluzioni del sistema $AX=0$ danno le coordinate dei vettori di $kerf$. Quindi devi risolvere

$\{(2x_1-2x_2=0),(x_2-x_3=0),(-1/2x_3-1/2x_4=0),(4x_3=0):}$

[Black27]

..E quindi risolvendo quel sistema ottengo

$ ( ( x1=0 ),( x2=0 ),( x3=0 ),( x4=0 ) ) $

Allora è iniettiva?

[^Tipper^1]

Secondo me sì.

Perché se è iniettiva, allora $dimIm=dimV$.

[Black27]

Mmm...Ma allora perché nel primo sistema lineare che ho risolto, mi usciva un ker diverso da zero, e poi risolvendo il sistema ridotto con gauss, il ker mi esce uguale a zero? in teoria i sistemi non dovrebbero essere equivalenti?
(anzi grazie, non ti ho ancora ringraziato per avermi risposto )

[Black27]

Ora ho ricontrollato l'esercizio...Ho sbagliato a fare gauss =P non so cos'avevo, ma ho messo un bel pò di errori! (sarà la stanchezza...) XD comunque con gauss corretto risulta che non è né iniettiva né suriettiva!

P.S. infatti il rango risulta 3 e non è uguale alla dimW (che è 4), quindi non è suriettiva...E visto che il valore di x3 non è determinato e concede infinite soluzioni, infatti poi risulta un ker diverso da zero, allora non è neanche iniettiva!