Esercizio d'esame su basi, dimensioni
Ciao ragazzi, come da titolo mi stavo esercitando su una traccia di esame e mi sono trovato questo tipo di esercizio che è abbastanza completo (ho ritagliato solo questo pezzo) :
http://imgur.com/Qvw7hjG
allora per determinare dimensioni di Im(f) e ker(f) non ho avuto problemi:
$ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ e il det di questa matrice é 2 perche tutti i minori di ordine 3 hanno det=0 quindi il rango di questa matrice è 2 e la dim di Im(f) = 2 .
Per la base posso prendere ad esempio : $ B = { ( 1 \ \ 1 \ \ 0 \ \ 1 ) ; ( 0 \ \ 1 \ \ 1 \ \ 0 ) ; ( 1 \ \ 2 \ \ 1 \ \ 1 ) }$
(è corretta questa base?)
Per il ker(f) risolvo il sistema A=0 :
$ { ( x+z=0 ),( x+y+2z=0 ),( y+z=0 ),( x+z=0 ):} $
che si riduce a un sistema a 3 equazioni e poi svolgendo i calcoli avrò -z=-z quindi 0=0 , allora fisso un parametro z=t
$ { ( x=-t ),( y=-t ),( z=t ):} $
quindi $ prop ^ 1 $ soluzioni -> la dim Ker(f) = 1
Per la base : $ B = { ( -1 \ \ -1 \ \ 1 ) }$ (Va bene questa generica base?)
Poi andiamo avanti:
f non è iniettiva poiché la dim del ker(f) non é = 0
f non è suriettiva poiché la dim di Im(f) non è uguale alla dim dell'insieme di arrivo = 4
Ora ho un po di difficoltà pero ci provo:
La dim di H = 1 poiché se scrivo $ ( ( 0 ),( 1 ),( -2 ),( 1 ) ) $ il rango di H è = 1 -> la dim di H = 1
Per la base abbiamo un'unica equazione cartesiana:
$ { ( y-2z+t=0 ):} $
allora pongo $ z=alpha $ e $ t=beta $ - > $ y=2alpha -beta $ ; lo scrivo in forma vettoriale:
$ [0, 2alpha-beta, alpha, beta] $ e lo esprimo di C.L. rispetto ai parametri = $ alpha[ 0 ,2 ,1 , 0] + beta[0,-1, 0, 1] $ verifico la loro L.I. con $ lambda1 $ e$ lambda2 $ e dopo averlo verifificato posso finalmente scrivere:
B $ B = {(0,2,1,0) ; (0,-1,0,1) } $
Ok allora adesso (sempre se il resto è tutto corretto) , non so fare Im(f) + H e Im(f) $ nn $ H .
Idem per l'ultima richiesta, completare la base..in che senso? e come stabilisco se $ R^4 $ é SOMMA DIRETTA di Im(f) e H ?
Se ho sbagliato qualcosa a scrivere scusate ma è la prima volta che uso l'editor delle formule.
In attesa di una vostra risposta, vi saluto!
Niko
http://imgur.com/Qvw7hjG
allora per determinare dimensioni di Im(f) e ker(f) non ho avuto problemi:
$ ( ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( 0 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $ e il det di questa matrice é 2 perche tutti i minori di ordine 3 hanno det=0 quindi il rango di questa matrice è 2 e la dim di Im(f) = 2 .
Per la base posso prendere ad esempio : $ B = { ( 1 \ \ 1 \ \ 0 \ \ 1 ) ; ( 0 \ \ 1 \ \ 1 \ \ 0 ) ; ( 1 \ \ 2 \ \ 1 \ \ 1 ) }$
(è corretta questa base?)
Per il ker(f) risolvo il sistema A=0 :
$ { ( x+z=0 ),( x+y+2z=0 ),( y+z=0 ),( x+z=0 ):} $
che si riduce a un sistema a 3 equazioni e poi svolgendo i calcoli avrò -z=-z quindi 0=0 , allora fisso un parametro z=t
$ { ( x=-t ),( y=-t ),( z=t ):} $
quindi $ prop ^ 1 $ soluzioni -> la dim Ker(f) = 1
Per la base : $ B = { ( -1 \ \ -1 \ \ 1 ) }$ (Va bene questa generica base?)
Poi andiamo avanti:
f non è iniettiva poiché la dim del ker(f) non é = 0
f non è suriettiva poiché la dim di Im(f) non è uguale alla dim dell'insieme di arrivo = 4
Ora ho un po di difficoltà pero ci provo:
La dim di H = 1 poiché se scrivo $ ( ( 0 ),( 1 ),( -2 ),( 1 ) ) $ il rango di H è = 1 -> la dim di H = 1
Per la base abbiamo un'unica equazione cartesiana:
$ { ( y-2z+t=0 ):} $
allora pongo $ z=alpha $ e $ t=beta $ - > $ y=2alpha -beta $ ; lo scrivo in forma vettoriale:
$ [0, 2alpha-beta, alpha, beta] $ e lo esprimo di C.L. rispetto ai parametri = $ alpha[ 0 ,2 ,1 , 0] + beta[0,-1, 0, 1] $ verifico la loro L.I. con $ lambda1 $ e$ lambda2 $ e dopo averlo verifificato posso finalmente scrivere:
B $ B = {(0,2,1,0) ; (0,-1,0,1) } $
Ok allora adesso (sempre se il resto è tutto corretto) , non so fare Im(f) + H e Im(f) $ nn $ H .
Idem per l'ultima richiesta, completare la base..in che senso? e come stabilisco se $ R^4 $ é SOMMA DIRETTA di Im(f) e H ?
Se ho sbagliato qualcosa a scrivere scusate ma è la prima volta che uso l'editor delle formule.
In attesa di una vostra risposta, vi saluto!
Niko
Risposte
"Generalelyon":
e il det di questa matrice é 2
La matrice non è quadrata, quindi non ha senso parlare di determinante
"Generalelyon":
quindi il rango di questa matrice è 2 e la dim di Im(f) = 2 .
Per la base posso prendere ad esempio : $B={(1 1 0 1);(0 1 1 0);(1 2 1 1)}$
(è corretta questa base?)
No
Come fai a dire che la dimensione è due e poi mettere tre vettori nella base? Quei tre vettori non sono linearmente indipendenti. Una base dello spazio è ${(1 1 0 1),(0 1 1 0)}$.Per il $Ker$ potevi usare il fatto che $dim(Im(f))+dim(Ker(f))=3$ deducendo che il $Ker$ ha dimensione $1$. Comunque va bene anche come hai fatto tu.
Giuste le considerazioni sull'iniettività e la surgettività.
"Generalelyon":
La dim di H = 1 poiché se scrivo $ ( ( 0 ),( 1 ),( -2 ),( 1 ) ) $ il rango di H è = 1 -> la dim di H = 1
Per la base abbiamo un'unica equazione cartesiana:
$ { ( y-2z+t=0 ):} $
allora pongo $ z=alpha $ e $ t=beta $ - > $ y=2alpha -beta $ ; lo scrivo in forma vettoriale:
$ [0, 2alpha-beta, alpha, beta] $ e lo esprimo di C.L. rispetto ai parametri = $ alpha[ 0 ,2 ,1 , 0] + beta[0,-1, 0, 1] $ verifico la loro L.I. con $ lambda1 $ e$ lambda2 $ e dopo averlo verifificato posso finalmente scrivere:
B $ B = {(0,2,1,0) ; (0,-1,0,1) } $
Niko
Qui ci sono parecchi errori. Intanto non è logico che tu dica che $H$ abbia dimensione $1$ e poi tu trovi una base di $H$ con due vettori. In ogni caso la dimensione di $H$ è $3$, infatti un generico vettore $[[x],[y],[z],[t]]$ di $H$ si può scrivere come
\[
x
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\
2z-t \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
+z
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
+t
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}.
\]
Come puoi vedere hai $3$ parametri $x$, $z$ e $t$, e i rispettivi vettori che essi moltiplicano sono una base di $H$ (quindi per completare la base di $H$ ad una base di $\mathbb{R}^4$ basta aggiungere $[[0],[1],[0],[0]]$).
Inoltre $Im(f)$ e $H$ non possono essere in somma diretta, altrimenti sarebbe $dim(Im(f)+H)=2+3=5$, ed essendo un sottospazio di $\mathbb{R}^4$ non è possibile.
Per determinare $Im(f)+H$, è sufficiente osservare che se alla base di $H$ aggiungiamo un vettore della base di $Im(f)$, ad esempio $(1 1 0 1)$ otteniamo $4$ vettori linearmente indipendenti, dunque $Im(f)+H$ è tutto $\mathbb{R}^4$.
Innanzitutto grazie mille per la risposta, ho dei dubbi:
Forse ho sempre sbagliato..quindi io se ho dim 2 posso prendere solo 2 vettori nella base giusto? Idem se ho dim 1 prendo 1 vettore o dim 3 prendo 3 vettori? (sempre L.I.)
Allora qui ho un po di confusione..innanzitutto H ha come equazione cartesiana : y-2z+t=0 la x non compare perché è =0 allora perché la inseriamo nel vettore?
Poi, hai scritto $ [ ( 0 ),( 2z-t ),( 0 ),( 0 ) ] $ perché y=2z-t giusto? e non potevo scrivere $ y[ ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ] $ ??
$dim(Im(f)+H)=2+3=5$ per fare questo calcolo hai semplicemente fatto la dim im(f) + la dimH cioè 2+3 ?
Ma non ho già 4 vettori L.I. alla base di $H$ ? C'è un altro modo per calcolare $ Im(f) + H$ ?
"billyballo2123":
No
Forse ho sempre sbagliato..quindi io se ho dim 2 posso prendere solo 2 vettori nella base giusto? Idem se ho dim 1 prendo 1 vettore o dim 3 prendo 3 vettori? (sempre L.I.)
"billyballo2123":
Qui ci sono parecchi errori. Intanto non è logico che tu dica che $H$ abbia dimensione $1$ e poi tu trovi una base di $H$ con due vettori. In ogni caso la dimensione di $H$ è $3$, infatti un generico vettore $[[x],[y],[z],[t]]$ di $H$ si può scrivere come
\[
x
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 \\
2z-t \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
+z
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
+t
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}.
\]
Come puoi vedere hai $3$ parametri $x$, $z$ e $t$, e i rispettivi vettori che essi moltiplicano sono una base di $H$ (quindi per completare la base di $H$ ad una base di $\mathbb{R}^4$ basta aggiungere $[[0],[1],[0],[0]]$).
Allora qui ho un po di confusione..innanzitutto H ha come equazione cartesiana : y-2z+t=0 la x non compare perché è =0 allora perché la inseriamo nel vettore?
Poi, hai scritto $ [ ( 0 ),( 2z-t ),( 0 ),( 0 ) ] $ perché y=2z-t giusto? e non potevo scrivere $ y[ ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ] $ ??
"billyballo2123":
Inoltre $Im(f)$ e $H$ non possono essere in somma diretta, altrimenti sarebbe $dim(Im(f)+H)=2+3=5$, ed essendo un sottospazio di $\mathbb{R}^4$ non è possibile.
$dim(Im(f)+H)=2+3=5$ per fare questo calcolo hai semplicemente fatto la dim im(f) + la dimH cioè 2+3 ?
"billyballo2123":
Per determinare $Im(f)+H$, è sufficiente osservare che se alla base di $H$ aggiungiamo un vettore della base di $Im(f)$, ad esempio $(1 1 0 1)$ otteniamo $4$ vettori linearmente indipendenti, dunque $Im(f)+H$ è tutto $\mathbb{R}^4$.
Ma non ho già 4 vettori L.I. alla base di $H$ ? C'è un altro modo per calcolare $ Im(f) + H$ ?
"Generalelyon":
Allora qui ho un po di confusione..innanzitutto H ha come equazione cartesiana : y-2z+t=0 la x non compare perché è =0 allora perché la inseriamo nel vettore?
Il fatto che la $x$ non compaia non significa che sia uguale a $0$!!
"Generalelyon":
Poi, hai scritto $ [ ( 0 ),( 2z-t ),( 0 ),( 0 ) ] $ perché y=2z-t giusto? e non potevo scrivere $ y[ ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ] $ ??
No perché hai la relazione $y=2z-t$. se scrivevi come dici tu, allora poi dovevi scrivere o $z$ o $t$ in funzione degli altri due.
"Generalelyon":
$dim(Im(f)+H)=2+3=5$ per fare questo calcolo hai semplicemente fatto la dim im(f) + la dimH cioè 2+3 ?
Sì, è una cosa che puoi fare solo se gli spazi sono in somma diretta.
"Generalelyon":
Ma non ho già 4 vettori L.I. alla base di $H$ ? C'è un altro modo per calcolare $ Im(f) + H$ ?
No i vettori della base di $H$ sono
\[
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
\end{bmatrix}.
\]
Si c'è un altro modo per calcolare $Im(F)+H$. Basta estrarre un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti dall'insieme di vettori dato dall'unione delle basi dei due spazi.
Grazie mille ora mi è tutto più chiaro! 
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