Esercizio d'esame piano/retta
Ciao a tutti, ci sarebbe gentilmente qualcuno disposto a scrivermi tutti i vari passaggi di questo esercizio? C'è sia il testo che la soluzione data dal professore, il mio problema è che non riesco a capire come sia arrivato a certe convlusioni.
Grazie in anticipo!!
Sia π il piano di equazione (t–1)x + 9y + tz – 10 = 0 ed r la retta passante per i punti A(–5, t2, 1) e B(0, t2, t). Determinare per quale valore del parametro reale t il piano π e la retta r non hanno punti in comune.
Affinchè la retta r e il piano π non abbiano punti in comune è necessario (ma non sufficiente) che siano paralleli tra loro. Quindi, il vettore u = (5, 0, t–1) parallelo alla retta r deve essere perpendicolare al vettore v = (t–1, 9, t) perpendicolare al piano π. Per cui deve essere nullo il loro prodotto scalare. u•v = 5(t–1) + t(t–1) = (t–1)(5+t).
Quindi, è necessario (ma non sufficiente) che si abbia t = 1 oppure t = –5. Per t = 1 si ha che B(0, 1, 1) e π : 9y + z – 10 = 0. Siccome B∈π, la retta r è contenuta nel piano π. Quindi, la condizione t = 1 non è sufficiente. Per t = –5 si ha che B(0, 25, –5) e π : 6x – 9y + 5z + 10 = 0. Siccome B∉π, la retta r è non è contenuta nel piano π. Per cui, la condizione t = 1 è anche sufficiente.
Quindi, la retta e il piano non hanno punti in comune se e solo se t = –5.
Grazie in anticipo!!
Sia π il piano di equazione (t–1)x + 9y + tz – 10 = 0 ed r la retta passante per i punti A(–5, t2, 1) e B(0, t2, t). Determinare per quale valore del parametro reale t il piano π e la retta r non hanno punti in comune.
Affinchè la retta r e il piano π non abbiano punti in comune è necessario (ma non sufficiente) che siano paralleli tra loro. Quindi, il vettore u = (5, 0, t–1) parallelo alla retta r deve essere perpendicolare al vettore v = (t–1, 9, t) perpendicolare al piano π. Per cui deve essere nullo il loro prodotto scalare. u•v = 5(t–1) + t(t–1) = (t–1)(5+t).
Quindi, è necessario (ma non sufficiente) che si abbia t = 1 oppure t = –5. Per t = 1 si ha che B(0, 1, 1) e π : 9y + z – 10 = 0. Siccome B∈π, la retta r è contenuta nel piano π. Quindi, la condizione t = 1 non è sufficiente. Per t = –5 si ha che B(0, 25, –5) e π : 6x – 9y + 5z + 10 = 0. Siccome B∉π, la retta r è non è contenuta nel piano π. Per cui, la condizione t = 1 è anche sufficiente.
Quindi, la retta e il piano non hanno punti in comune se e solo se t = –5.
Risposte
"ingpar":
Per cui, la condizione t = 1 è anche sufficiente.
Ovviamente intendeva che \( t = -5 \) è anche sufficiente.
Comunque, cosa non ti è chiaro esattamente della procedura?
Non riesco a capire come sia possibile che il vettore v abbia coordinate equivalenti a quelle del piano π visto che il vettore è perpendicolare al piano.
Ti ripeto i problemi di questo genere mi creano un po' di confusione perciò volevo capire passaggio per passaggio ogni cosa
Ti ripeto i problemi di questo genere mi creano un po' di confusione perciò volevo capire passaggio per passaggio ogni cosa
"ingpar":
Non riesco a capire come sia possibile che il vettore v abbia coordinate equivalenti a quelle del piano π visto che il vettore è perpendicolare al piano.
L'equazione cartesiana di un piano in uno spazio affine di dimensione \( 3 \) è
\[ AX + BY + CZ + D = 0 \]
È facile osservare che la giacitura di \( \pi \) ha equazione
\[ (A \quad B \quad C)\ \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} = 0 \]
Conseguentemente, le rette ortogonali a \( \pi \) hanno giacitura \( \mathcal{L}\, ((A, B, C)) \).
Se la retta \( r \) deve essere parallela al piano, allora i suoi vettori di direzione devono essere anch'essi ortogonali a quelli di \( \mathcal{L}\, ((A, B, C)) \).
Questo spiega lo svolgimento impostato dal tuo docente.
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