Esercizio d'esame algebra lineare
Salve, sono nuovo e non so in che metodo risolvere questo esercizio:
Sia U il sottospazio di $R^4$ generato dai vettori $u_1$=(0,2,0,-1) e $u_2$=(1.1.1.0). Sia V il sottospazio di $R^4$ costituito dalle soluzioni del seguente sistema:
$x_1$+$x_3$ = $x_2$+$x_4$
$x_3$+$x_4$ = 0 (non so come fare la parentesi grafa grande davanti)
(a) si determini la dimensione e una base di U$nnn$V.
(b) si determini la dimensione e una base di U + V.
Io ho preso i vettori $u_1$=(0,2,0,-1) e $u_2$=(1.1.1.0) e li ho messi in un sistema:
2$x_2$-$x_4$ = 0
$x_1$+$x_2$+$x_3$ = 0
Ora non so come procedere. Grazie del vostro aiuto.[/spoiler]
Sia U il sottospazio di $R^4$ generato dai vettori $u_1$=(0,2,0,-1) e $u_2$=(1.1.1.0). Sia V il sottospazio di $R^4$ costituito dalle soluzioni del seguente sistema:
$x_1$+$x_3$ = $x_2$+$x_4$
$x_3$+$x_4$ = 0 (non so come fare la parentesi grafa grande davanti)
(a) si determini la dimensione e una base di U$nnn$V.
(b) si determini la dimensione e una base di U + V.
Io ho preso i vettori $u_1$=(0,2,0,-1) e $u_2$=(1.1.1.0) e li ho messi in un sistema:
2$x_2$-$x_4$ = 0
$x_1$+$x_2$+$x_3$ = 0
Ora non so come procedere. Grazie del vostro aiuto.[/spoiler]
Risposte
Sicuro che nel punto "a" non devi trovare l' intersezione al posto dell' unione ??
comunque per il punto "b": puoi scrivere una matrice in cui le colonne solo i coefficienti dei vettori. In questo momento sta cercando dim e base della somma diretta tra U e V, la somma sarà diretta se tutti i vettori sono linearmente indipendenti: quindi dovrai fare un riduzione a scala e vedere se ci sono righe tutte nulle. Nel caso non ce ne siano: dim è zero, e la base è costutuita da tutti e 4 i vettori, in caso contrario dovrai cercarti quale, o quali, vettore/i è combinazione lineare degli altri.
La matrica da cui partire è: A =
|1 0 0 1|
|-1 0 2 1|
|1 1 0 1|
|-1 1 -1 0|
comunque per il punto "b": puoi scrivere una matrice in cui le colonne solo i coefficienti dei vettori. In questo momento sta cercando dim e base della somma diretta tra U e V, la somma sarà diretta se tutti i vettori sono linearmente indipendenti: quindi dovrai fare un riduzione a scala e vedere se ci sono righe tutte nulle. Nel caso non ce ne siano: dim è zero, e la base è costutuita da tutti e 4 i vettori, in caso contrario dovrai cercarti quale, o quali, vettore/i è combinazione lineare degli altri.
La matrica da cui partire è: A =
|1 0 0 1|
|-1 0 2 1|
|1 1 0 1|
|-1 1 -1 0|
Sicuro che nel punto "a" non devi trovare l' intersezione al posto dell' unione ??
Si scusami, era intersezione, non unione. Coreggo.
"stefano_89":
Sicuro che nel punto "a" non devi trovare l' intersezione al posto dell' unione ??
comunque per il punto "b": puoi scrivere una matrice in cui le colonne solo i coefficienti dei vettori. In questo momento sta cercando dim e base della somma diretta tra U e V, la somma sarà diretta se tutti i vettori sono linearmente indipendenti: quindi dovrai fare un riduzione a scala e vedere se ci sono righe tutte nulle. Nel caso non ce ne siano: dim è zero, e la base è costutuita da tutti e 4 i vettori, in caso contrario dovrai cercarti quale, o quali, vettore/i è combinazione lineare degli altri.
La matrica da cui partire è: A =
|1 0 0 1|
|-1 0 2 1|
|1 1 0 1|
|-1 1 -1 0|
La matrice risultante con la riduzione a scala è
$|(1,0,0,1),(0,1,1,1),(0,0,-3,-1),(0,0,0,2/3)|$
Quindi la dimensione è 0 giusto? E la base? Cosa intendi con 'è costituita da tutti e 4 i vettori?'
Grazie delle dritte.
ok già meglio.. 
Allora, per il punto"a" devi risolvere un sistema in cui eguagli le combinazione del primo spazi con quelle del secondo.
Sarà del tipo:
U = a(0, 2, 0, -1) + b(1, 1, 1, 0) quindi, (b, 2a + b, b, -a)
V = c(1, -1, 1, 1) + d(0, 0, 1, 1) quindi, (c, -c, c + d, c + d)
il sistema sarà:
b = c
2a + b = -c
b = c
-a = c + d
Se la soluzione di questo sistema è un unico vettore, allora la dim è zero. Nel caso il risulatato dipenda da uno o più variabili avrà dim 1 o maggiore di 1. Come vedi una riga del sistema è già doppia.
Adesso controllo la riduzioe..
Cmq significa che i 4 vettori di partenza sono proprio la base completa che stai cercando per R^4.
Si la ridizione è giusta, ma la dim è 4!! Perchè tutti i vettori sono indipendenti tra loro, quindi generano R4. Nel caso ce ne fosse uno dipendente, allora genererebbero R3..
Per l' intersezione è il contrario. Se la dim è zero vuol dire che tutti sono indipendenti, perchè l' intersezione è il vettore nullo. Anche se ho un dubbio adesso, perchè se la somma è diretta, come risulta ad entrambi, l' intersezione dovrebbe essere zero. invece nel sistema c' è giò una riga doppia..
Allora, per il punto"a" devi risolvere un sistema in cui eguagli le combinazione del primo spazi con quelle del secondo.
Sarà del tipo:
U = a(0, 2, 0, -1) + b(1, 1, 1, 0) quindi, (b, 2a + b, b, -a)
V = c(1, -1, 1, 1) + d(0, 0, 1, 1) quindi, (c, -c, c + d, c + d)
il sistema sarà:
b = c
2a + b = -c
b = c
-a = c + d
Se la soluzione di questo sistema è un unico vettore, allora la dim è zero. Nel caso il risulatato dipenda da uno o più variabili avrà dim 1 o maggiore di 1. Come vedi una riga del sistema è già doppia.
Adesso controllo la riduzioe..
Cmq significa che i 4 vettori di partenza sono proprio la base completa che stai cercando per R^4.
Si la ridizione è giusta, ma la dim è 4!! Perchè tutti i vettori sono indipendenti tra loro, quindi generano R4. Nel caso ce ne fosse uno dipendente, allora genererebbero R3..
Per l' intersezione è il contrario. Se la dim è zero vuol dire che tutti sono indipendenti, perchè l' intersezione è il vettore nullo. Anche se ho un dubbio adesso, perchè se la somma è diretta, come risulta ad entrambi, l' intersezione dovrebbe essere zero. invece nel sistema c' è giò una riga doppia..
"stefano_89":
ok già meglio..
Allora, per il punto"a" devi risolvere un sistema in cui eguagli le combinazione del primo spazi con quelle del secondo.
Sarà del tipo:
U = a(0, 2, 0, -1) + b(1, 1, 1, 0) quindi, (b, 2a + b, b, -a)
V = c(1, -1, 1, 1) + d(0, 0, 1, 1) quindi, (c, -c, c + d, c + d)
il sistema sarà:
b = c
2a + b = -c
b = c
-a = c + d
Se la soluzione di questo sistema è un unico vettore, allora la dim è zero. Nel caso il risulatato dipenda da uno o più variabili avrà dim 1 o maggiore di 1. Come vedi una riga del sistema è già doppia.
Adesso controllo la riduzioe..
Cmq significa che i 4 vettori di partenza sono proprio la base completa che stai cercando per R^4.
Si la ridizione è giusta, ma la dim è 4!! Perchè tutti i vettori sono indipendenti tra loro, quindi generano R4. Nel caso ce ne fosse uno dipendente, allora genererebbero R3..
Per l' intersezione è il contrario. Se la dim è zero vuol dire che tutti sono indipendenti, perchè l' intersezione è il vettore nullo. Anche se ho un dubbio adesso, perchè se la somma è diretta, come risulta ad entrambi, l' intersezione dovrebbe essere zero. invece nel sistema c' è giò una riga doppia..
Ti viene così perchè hai fatto un paio d'errori.
V = c(1, -1, 1, 1) + d(0, 0, 1, 1) quindi, (c, -c, c + d, c + d)
sarebbe
V = c(1,-1,1,-1) + d(0,0,1,1) quindi (c,-c,c+d,-c+d)
Inoltre, se ho capito bene, il sistema dovrebbe essere
b = c
2a + b = -c
b = c + d
-a = -c + d
Ora risolvo il sistema.
a = 0
b = 0
c = 0
d = 0
Vettore nullo, quindi tutti i vettori sono indipendenti.
Quindi la dimensione è 0 o 4? E la base? (non ho ancora capito come scrivere la base del punto b, devo scrivere l'intera matrice?)
allora per il punto "a" la dim è zero e la base è il vettore nullo
per il punto "b" la dim è 4 e la base sono esattamente le colonne della matrice.
Anche se adesso viene un dubbio a me..
perchè il testo da un sistema da cui ricavare le soluzione per avere i vettori di V:
e la soluzioni sarebbero i 2 vettori: v1 = (1, -1, 0, -2) e v2 = (1, -1, 2, 0)
per il punto "b" la dim è 4 e la base sono esattamente le colonne della matrice.
Anche se adesso viene un dubbio a me..
perchè il testo da un sistema da cui ricavare le soluzione per avere i vettori di V:
e la soluzioni sarebbero i 2 vettori: v1 = (1, -1, 0, -2) e v2 = (1, -1, 2, 0)
"stefano_89":
allora per il punto "a" la dim è zero e la base è il vettore nullo
per il punto "b" la dim è 4 e la base sono esattamente le colonne della matrice.
Anche se adesso viene un dubbio a me..
perchè il testo da un sistema da cui ricavare le soluzione per avere i vettori di V:
e la soluzioni sarebbero i 2 vettori: v1 = (1, -1, 0, -2) e v2 = (1, -1, 2, 0)
Non ho capito come hai ricavato quei due vettori, comunque stamattina ho chiesto su un altro sito web è mi è arrivata la seguente spiegazione:
Il sistema è risolto da un vettore di questo tipo (basta effettivamente risolvere il sistema)
(x1 , x2, x3= (x1+x2)/2, x4 = -(x1+x2)/2 )
Ovvero, tutti i vettori che hanno quella forma lì appartengono a V. Siccome il generico vettore dipende solo da due parametri (io ho scelto x1 e x2 nell'esempio), significa che lo spazio V ha dimensione 2 (non è difficile da dimostrare: intuitivamente, siccome ho 2 gradi di libertà nella scelta dei parametri, posso creare solo 2 vettori linearmente indipendenti che abbiano questa forma.
Per trovare una base di V, basta che dia due coppie di valori (nel mio caso, due coppie (x1,x2) fra loro indipendenti: per esempio 1,0 e 0,1.
Così, una base di V è data da: (1,0,1/2,-1/2) e (0,1,1/2,-1/2). Se fai qualche conto vedi che effettivamente questi due vettori sono indipendenti (e che quindi questo metodo per trovare vettori indipendenti dato il generico vettore dello spazio funziona).
per il punto 1: se v appartiene all'intersezione, allora v appartiene a U e v appartiene a V. Perciò scriviamo che il vettore v (generico) a quattro componenti si possa scrivere come combinazione lineare della base di U E come combinazione lineare della base di V. Se esiste un vettore che si può esprimere simultaneamente come combinazione di u1 e u2 e di v1 e v2, allora appartiene all'intersezione.
Allora risolvi:
a*v1 + b*v2 = c*u1 + d*u2 rispetto ai generici parametri a,b,c,d.
Una volta fatto, a,b,c e d saranno le generiche componenti del vettore (a,b,c,d) appartenente all'intersezione. Con lo stesso metodo di prima si può trovare una base dell'intersezione e di conseguenza la sua dimensione.
Per il punto 2: adesso abbiamo una base dell'intersezione. Se l'intersezione ha dimensione 2, essendo entrambe gli spazi di dimensione 2, questa base è automaticamente anche una base della somma (significa che gli spazi U e V sono in realtà lo stesso spazio)
Se ha dimensione 0, allora una base della somma è data da u1,u2,v1,v2, in quanto la somma deve avere dimensione 4, e u1,u2,v1 e v2 sono fra loro tutti indipendenti (il motivo è che gli spazi sono completamente diversi l'uno dall'altro).
Se ha dimensione 1, allora significa che hanno un solo vettore di base in comune (la base dell'intersezione appunto). Una base della somma è data allora da: uno a scelta fra u1 e u2, uno a scelta fra v1 e v2 e il vettore che genera l'intersezione.
sisi scusami sono un pò arrugginito, cmq si effettivamente la base di V era quella.. avevo fatto i caonit di fretta..
cmq se hai visto, i metodi che ti danno loro sono esattamente gi stessiche ti ho proposto io, magari spiegati meglio..
cmq se hai visto, i metodi che ti danno loro sono esattamente gi stessiche ti ho proposto io, magari spiegati meglio..
"stefano_89":
sisi scusami sono un pò arrugginito, cmq si effettivamente la base di V era quella.. avevo fatto i caonit di fretta..
cmq se hai visto, i metodi che ti danno loro sono esattamente gi stessiche ti ho proposto io, magari spiegati meglio..
Non ci sti capendo più nulla, avevamo fatto giusto allora?
"kkkcristo":
[quote="stefano_89"]sisi scusami sono un pò arrugginito, cmq si effettivamente la base di V era quella.. avevo fatto i caonit di fretta..
cmq se hai visto, i metodi che ti danno loro sono esattamente gi stessiche ti ho proposto io, magari spiegati meglio..
Non ci sti capendo più nulla, avevamo fatto giusto allora?[/quote]
Qualcuno può darmi la conferma che l'esercizio è giusto?
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