Esercizio d'esame

[lollolollo1]

salve!

sia $g : R^3->R^3$ l'unico endomorfismo tale che:

$<(1,1,0),(0,1,1)>$e’ un autospazio per $g$.
$(1,0,1)$ e’ un autovettore per $g$.
$g(2,2,2) = (2,−4,2)$.

determinare g

qualche idea?
thanks

[killing_buddha]

Una applicazione lineare è univocamente determinata da cosa fa a una base.

[lollolollo1]

ma non capisco come determinare cosa fa alla base se non ho gli autovalori
grazie

[Bokonon]

Disponi di una marea di informazioni.
Sai che ci sono due autospazi....uno di dimensione 1 e uno di dimensione 2, ovvero ci sono due autovalori distinti, chiamiamoli h e k. Sai anche che la matrice G è diagonalizzabile, quindi: $G=SDS^-1$
Dove $ S=( ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $ e $D=( ( h , 0 , 0 ),( 0 , h , 0 ),( 0 , 0 , k ) ) $
Sai anche che $G( ( 2) , (2) , (2) )=G[( ( 1) , (1) , (0) )+( ( 0) , (1) , (1) )+( ( 1) , (0) , (1) )]=h( ( 1) , (1) , (0) )+h( ( 0) , (1) , (1) )+k( ( 1) , (0) , (1) )=( ( 2) , (-4) , (2) )$

[Magma1]

"lollolollo":ma non capisco come determinare cosa fa alla base se non ho gli autovalori

La cosa bella è che non ci interessa cosa fa alla base , l'importante è avere una base al dominio.

Ti vengono dati $4$: $((1),(1),(0)),((0),(1),(1)),((1),(0),(1)),((2),(2),(2))$ vettori appartenenti al dominio ma, per Steinitz, si possono avere al più $3$ vettori l.i.; quindi devi scartare un vettore che è C.L. dei rimanenti per dimostrare che una siffatta $f$ esista.

[lollolollo1]

grazie!