Esercizio d'esame
salve!
sia $g : R^3->R^3$ l'unico endomorfismo tale che:
$<(1,1,0),(0,1,1)>$e’ un autospazio per $g$.
$(1,0,1)$ e’ un autovettore per $g$.
$g(2,2,2) = (2,−4,2)$.
determinare g
qualche idea?
thanks
sia $g : R^3->R^3$ l'unico endomorfismo tale che:
$<(1,1,0),(0,1,1)>$e’ un autospazio per $g$.
$(1,0,1)$ e’ un autovettore per $g$.
$g(2,2,2) = (2,−4,2)$.
determinare g
qualche idea?
thanks
Risposte
Una applicazione lineare è univocamente determinata da cosa fa a una base.
ma non capisco come determinare cosa fa alla base se non ho gli autovalori
grazie
grazie
Disponi di una marea di informazioni.
Sai che ci sono due autospazi....uno di dimensione 1 e uno di dimensione 2, ovvero ci sono due autovalori distinti, chiamiamoli h e k. Sai anche che la matrice G è diagonalizzabile, quindi: $G=SDS^-1$
Dove $ S=( ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $ e $D=( ( h , 0 , 0 ),( 0 , h , 0 ),( 0 , 0 , k ) ) $
Sai anche che $G( ( 2) , (2) , (2) )=G[( ( 1) , (1) , (0) )+( ( 0) , (1) , (1) )+( ( 1) , (0) , (1) )]=h( ( 1) , (1) , (0) )+h( ( 0) , (1) , (1) )+k( ( 1) , (0) , (1) )=( ( 2) , (-4) , (2) )$
Sai che ci sono due autospazi....uno di dimensione 1 e uno di dimensione 2, ovvero ci sono due autovalori distinti, chiamiamoli h e k. Sai anche che la matrice G è diagonalizzabile, quindi: $G=SDS^-1$
Dove $ S=( ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $ e $D=( ( h , 0 , 0 ),( 0 , h , 0 ),( 0 , 0 , k ) ) $
Sai anche che $G( ( 2) , (2) , (2) )=G[( ( 1) , (1) , (0) )+( ( 0) , (1) , (1) )+( ( 1) , (0) , (1) )]=h( ( 1) , (1) , (0) )+h( ( 0) , (1) , (1) )+k( ( 1) , (0) , (1) )=( ( 2) , (-4) , (2) )$
"lollolollo":
ma non capisco come determinare cosa fa alla base se non ho gli autovalori
La cosa bella è che non ci interessa cosa fa alla base

Ti vengono dati $4$: $((1),(1),(0)),((0),(1),(1)),((1),(0),(1)),((2),(2),(2))$ vettori appartenenti al dominio ma, per Steinitz, si possono avere al più $3$ vettori l.i.; quindi devi scartare un vettore che è C.L. dei rimanenti per dimostrare che una siffatta $f$ esista.
grazie!