Esercizio d'esame
Ciao a tutti. Sto cercando di vedere se ho dimostrato bene il seguente esercizio:
Sia $A \in GL(n, \mathbb{R})$. Discutere se la seguente condizione (*) è necessaria o rispettivamente suffi-
ciente affichè $A$ sia simile a $A^{−1}$:
(*) Esiste $r$ con $0 ≤ r ≤ n$ tale che il polinomio caratteristico di $A$ è $p_A(t) = (−1)^n(t − 1)^r(t + 1)^{n−r}$.
dim: Io dico che (*) è sufficiente e necessaria.
Se non fosse necessaria potrebbe esistere un polinomio caratteristico con un fattore $(t-\lambda)$ con $\lambda \notin{0,1,-1}$. Allora, poichè $A$ ed $A^{-1}$ dovrebbero avere gli autovalori uno l'inverso dell'altro e allo stesso tempo uguali (per via della similitudine), ciò sarebbe assurdo a causa del fattore suddetto. Allora (*) è necessaria.
E' sufficiente perchè un polinomio caratteristico siffatto implicherebbe che $A$ fosse invertibile, perciò esisterebbe $A^{-1}$. Oltretutto, gli autovalori dovrebbero essere ancora gli stessi, però stavolta non ci sarebbero problemi a che essi fossero uguali, perchè gli autovalori sarebbero $1$ e $-1$.
Ditemi se sta bene per favore. Grazie
Sia $A \in GL(n, \mathbb{R})$. Discutere se la seguente condizione (*) è necessaria o rispettivamente suffi-
ciente affichè $A$ sia simile a $A^{−1}$:
(*) Esiste $r$ con $0 ≤ r ≤ n$ tale che il polinomio caratteristico di $A$ è $p_A(t) = (−1)^n(t − 1)^r(t + 1)^{n−r}$.
dim: Io dico che (*) è sufficiente e necessaria.
Se non fosse necessaria potrebbe esistere un polinomio caratteristico con un fattore $(t-\lambda)$ con $\lambda \notin{0,1,-1}$. Allora, poichè $A$ ed $A^{-1}$ dovrebbero avere gli autovalori uno l'inverso dell'altro e allo stesso tempo uguali (per via della similitudine), ciò sarebbe assurdo a causa del fattore suddetto. Allora (*) è necessaria.
E' sufficiente perchè un polinomio caratteristico siffatto implicherebbe che $A$ fosse invertibile, perciò esisterebbe $A^{-1}$. Oltretutto, gli autovalori dovrebbero essere ancora gli stessi, però stavolta non ci sarebbero problemi a che essi fossero uguali, perchè gli autovalori sarebbero $1$ e $-1$.
Ditemi se sta bene per favore. Grazie
Risposte
La condizione è certamente necessaria perché se $A$ e $A^{-1}$ hanno gli stessi autovalori, allora tali autovalori possono essere solo $\pm 1$.
Manca qualcosa per dire se è sufficiente. Infatti bisogna mostrare che, se il polinomio caratteristico ha quella forma, allora $A$ e $A^{-1}$ hanno la stessa forma di Jordan. Se $A$ è diagonalizzabile è facile: infatti in questo caso, come hai osservato, $A$ e $A^{-1}$ risultano avere gli stessi autovalori (bisogna anche dire che hanno le stesse molteplicità, ma è facile) e questo è sufficiente per dire che tali autovalori devono essere $\pm 1$ e quindi questo è garantito dal fatto che il polinomio caratteristico ha quella forma.
Se $A$ non è diagonalizzabile tuttavia avere gli stessi autovalori non è sufficiente. Bisogna che gli autospazi abbiano la stessa dimensione e mi sa che anche questo non è sufficiente; bisogna che anche gli autospazi generalizzati (e in realtà tutto quello che c'è nel mezzo) abbiano la stessa dimensione (in pratica, gli $1$ nella forma canonica di Jordan devono essere negli stessi posti). Credo che questo valga in generale per una matrice e la sua inversa, ma non ho una dimostrazione completa, perché sebbene $A$ e $A^{-1}$ siano simultaneamente triangolabili, non sono simultaneamente riducibili in forma di Jordan (o forse sì?), quindi forse bisogna ragionare in un altro modo sulle dimensioni.
Manca qualcosa per dire se è sufficiente. Infatti bisogna mostrare che, se il polinomio caratteristico ha quella forma, allora $A$ e $A^{-1}$ hanno la stessa forma di Jordan. Se $A$ è diagonalizzabile è facile: infatti in questo caso, come hai osservato, $A$ e $A^{-1}$ risultano avere gli stessi autovalori (bisogna anche dire che hanno le stesse molteplicità, ma è facile) e questo è sufficiente per dire che tali autovalori devono essere $\pm 1$ e quindi questo è garantito dal fatto che il polinomio caratteristico ha quella forma.
Se $A$ non è diagonalizzabile tuttavia avere gli stessi autovalori non è sufficiente. Bisogna che gli autospazi abbiano la stessa dimensione e mi sa che anche questo non è sufficiente; bisogna che anche gli autospazi generalizzati (e in realtà tutto quello che c'è nel mezzo) abbiano la stessa dimensione (in pratica, gli $1$ nella forma canonica di Jordan devono essere negli stessi posti). Credo che questo valga in generale per una matrice e la sua inversa, ma non ho una dimostrazione completa, perché sebbene $A$ e $A^{-1}$ siano simultaneamente triangolabili, non sono simultaneamente riducibili in forma di Jordan (o forse sì?), quindi forse bisogna ragionare in un altro modo sulle dimensioni.
Invece …
la matrice $A=((2,0),(0,1/2))$ e’ simile ad $A^{-1}$ ma gli autovalori non sono $\pm 1$.
Pero’, se gli autovalori di una matrice $A$ sono soltanto $\pm 1$, allora $A$ e’ simile a $A^{-1}$.
Infatti, sia $A$ una matrice $n\times n$ su un campo $k$ Allora $M=k^n$ e’ un modulo
sull’anello di polinomi $k[X]$ nel solito modo: $X$ agisce via moltiplicazione
per $A$. Supponiamo che ogni autovalore di $A$ e' $\pm 1$. Allora, per Jordan
(o equivalentemente per la struttura dei moduli finitamente generati su $k[X]$)
il $k[X]$-modulo $M$ e’ un prodotto di moduli del tipo $J=k[X]$/$((X\pm 1)^a)$
per qualche $a$.
Poiche’ l’azione di $X$ su $M$ e’ invertibile, $M$ ed i suoi fattori $J$ hanno la struttura di
$k[X,1$/$X]$-moduli e ogni $J$ e’ isomorfo a $k[X,1$/$X]$/$((X\pm 1)^a)$ per qualche $a$.
Poiche’ il $k[X,1$/$X]$-ideale $((X\pm 1)^a)$ e’ uguale a $((1$/$X\pm 1)^a)$,
vediamo che se scambiamo i ruoli di $X$ e $1$/$X$, la $k[X,1$/$X]$-struttura
di $J$ rimane uguale. La stessa cosa vale quindi per il modulo $M$.
E questo vuol dire che $A$ e $A^{-1}$ sono simili.
la matrice $A=((2,0),(0,1/2))$ e’ simile ad $A^{-1}$ ma gli autovalori non sono $\pm 1$.
Pero’, se gli autovalori di una matrice $A$ sono soltanto $\pm 1$, allora $A$ e’ simile a $A^{-1}$.
Infatti, sia $A$ una matrice $n\times n$ su un campo $k$ Allora $M=k^n$ e’ un modulo
sull’anello di polinomi $k[X]$ nel solito modo: $X$ agisce via moltiplicazione
per $A$. Supponiamo che ogni autovalore di $A$ e' $\pm 1$. Allora, per Jordan
(o equivalentemente per la struttura dei moduli finitamente generati su $k[X]$)
il $k[X]$-modulo $M$ e’ un prodotto di moduli del tipo $J=k[X]$/$((X\pm 1)^a)$
per qualche $a$.
Poiche’ l’azione di $X$ su $M$ e’ invertibile, $M$ ed i suoi fattori $J$ hanno la struttura di
$k[X,1$/$X]$-moduli e ogni $J$ e’ isomorfo a $k[X,1$/$X]$/$((X\pm 1)^a)$ per qualche $a$.
Poiche’ il $k[X,1$/$X]$-ideale $((X\pm 1)^a)$ e’ uguale a $((1$/$X\pm 1)^a)$,
vediamo che se scambiamo i ruoli di $X$ e $1$/$X$, la $k[X,1$/$X]$-struttura
di $J$ rimane uguale. La stessa cosa vale quindi per il modulo $M$.
E questo vuol dire che $A$ e $A^{-1}$ sono simili.
Grazie Stickelberger...chiedo scusa per lo sfondone sugli autovalori...
Se non fosse necessaria potrebbe esistere un polinomio caratteristico con un fattore (t−λ) con λ∉{0,1,−1}. Allora, poichè A ed A−1 dovrebbero avere gli autovalori uno l'inverso dell'altro e allo stesso tempo uguali (per via della similitudine)
@Stickelberger: Grazie del controesempio. Per altro è un controesempio che si può estendere a tutte le dimensioni. Basta prendere una matrice diagonale, che presenta almeno un blocco 2x2 sulla diagonale stessa, come quello che hai trovato tu, e poi tutti +\-1.
Comunque esiste un modo più da "algebra lineare" per risolvere la questione della sufficienza? Perchè l'obbiezione mossami da Pappappero, a me che non conosco i moduli, sembra piuttosto sensata...
Grazie ancora
PS: non correggo nella dimostrazione la cosa che mi sono appena autocitato altrimenti perderebbero di valore tutte le cose che sono state dette (compreso il controesempio) all'interno di questa discussione.
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