Esercizio da correggere

[indovina]

Oggi mi sono cimentato in questo esercizio:

Sia $f$ l'endomorfismo di $R^3$ definito al modo seguente.

$f:(x,y,z)->(2x,x+y+z,-x+y+z)$

i) scrivere le equazioni di f.
a sistema:

$x'=2x$
$y'=x+y+z$
$z'=-x+y+z$

ii) rappresentare esibendo una base i sottospazi vettoriali Im f e Ker f.

prendo la matrice associata:
$((2,0,0),(1,1,1),(-1,1,1))$

$Dim=3$ siamo in $R^3$
Determinante della matrice è $0$.
Nell'autovalore c'è sempre lo $0$
Il termine noto è $0$
Non c'è automorfismo
$Im f=L((2,1,-1),(0,1,1))$
Sono linearmente indipendenti.
$Im f=2$
$Dim Im f + Dim ker f = Dim$
$Dim Ker f =1$ e sara proprio quello dell'autovalore $0$

iii) autovalori e autospazi.
$((2-t,0,0),(1,1-t,1),(-1,1,1-t))$

$(2-t)*(t^2-2*t)=0$
$2-t=0$ con $t=2$ m.a=$2$
$t=0$ con m.a=$1$

a sistema autospazi di $t=0$
$E_0=Ker=L(0,-1,1)$ m.g=1

autospazi per $t=2$
$((0,0,0),(1,-1,1),(-1,1,-1))$ sistema di vettori linearmente indipendenti.

a sistema è:
$x_1-x_2+x_3=0$
$E_1=((1,2,1),(-1,1,2))$
m.g=$2$

iv) in caso di diagonalizzabilità di $f$, individuare una forma diagonale e la corrispondente matrice diagonalizzante.
Matrice diagonalizzante:
$((0,0,0),(0,2,0),(0,0,0))$

$P=((1,-1,0),(2,1,-1),(1,2,1))$
$|A|=6$
$P^-1=((3,-3,3),(1,1,-3),(1,1,3))$
$P*A*P^-1=matrice diagonalizzante$

è piu o meno cosi il ragionamento?

[paola90-votailprof]

Non vorrei confonderti solamente le idee, ma ti dico un errore che credo di aver trovato. Hai scritto la matrice diagonale come se l'autovalore $0$ avesse molteplicità algebrica$=2$, mentre questo è il caso dell'autovalore 2. Ti risulta?

[indovina]

hehe scusa, errore di battitura è $2$ mi trovo
il resto come va? sembra capibile?

[paola90-votailprof]

Dall'alto della mia ignoranza ti direi di si...ma è meglio aspettare menti più sapienti!

[indovina]

Grazie

[mariacristina87]

l'ho svolto la parte della diagonalizzazione e mi trovo che non e' diagonalizzabile

[indovina]

Ah, bene.

I conti e il resto son fatti bene o no?

Deve essre per forza diagonalizzabile, è un esercizio d'esame

Suggerimenti?

[mariacristina87]

"clever":Ah, bene.

I conti e il resto son fatti bene o no?

Deve essre per forza diagonalizzabile, è un esercizio d'esame

Suggerimenti?

provo a rifarlo cara

[mariacristina87]

ehy clever,mi trovo con tutto,ma non mi trovo con i tuoi autovettori di V(2),ho ricontrollato piu' volte ma non vedo niente che non vada,secondo me dovevi finire di ridurre a gradini la matrice relativa a V(2). Per il resto mi trovo che e' diagonalizzabile.