Esercizio convergenza funzioni in uno spazio topologico

[lapi1]

Si considerino le seguenti topologie su R: naturale, semirette destre, semirette sinistre, topologia discreta, (0,R,]-a,a[ con a>0) e (0, R, ]1,4[).
Si consideri la successione x=(-1)^n
Si determinino gli eventuali punti di convergenza in ciascuna delle topologie assegnate

[j18eos]

Quali sono le ultime topologie su \(\displaystyle\mathbb{R}\)?

Tentativo di soluzione! (Cfr. regolamento.)

[lapi1]

ciao!
La successione è alternata e assume come valori -1 e 1
Nella topologia naturale converge in (-oo, 1] U [1, +oo)
in quella delle semirette sinistre per a≥ -1
in quella delle semirette destre per a≤ 1
nella topologia {0, R ]-a,a[con a >0} credo converga in (-oo, 1] U [1, +oo)
la topologia discreta che è la più banale mi mette in difficoltà!
L'altra topologia è {0, R, ]1,4[}

[j18eos]

"lapi":...Nella topologia naturale converge in \(\displaystyle]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\)...

No: essendo una topologia soddisfacente l'assioma di separazione di Hausdorff, se il limite esiste esso è unico! C'è qualcosa che non va nel tuo ragionamento.